Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
ние g впервые было дано Адамсом J). Оно равно g= 1,085171392746869.
Выражая g через m по формуле (8), мы можем легко получить методом
последовательных приближений выражения для С, в виде функций ш. Например,
так как С0=1, М1==М_1 и Mt — малая величина порядка mWl, то, полагая в
формуле (6) / = 0, находим
?g-g2 — М0 — Мх (Cj -ЬС_Х) + M2(C2 + C_2)+ ....
Аналогично при /= 1 и ] = —1 имеем
[4& + 2)2-М0]с1 = М1(1+С2) + Л12С_1+ .... (9)
[|(g-2)2-M0]c_1 = M1 (1+C_2)+AISC1+ .... (10)
Далее, согласно формуле (8) § 18.12, с точностью до членов порядка ш2
включительно 2А10= 1 + 2ш + 5/2ш2. Коэффициент при Сх в уравнении (9),
таким образом, имеет вид a + ftm + t/m2. Поэтому Сх — малая порядка ш2.
Кроме того, коэффициент при С_х в уравнении (10) имеет вид аш + ^ш2.
Поэтому С_х будет малой величиной порядка т, и легко видеть, что с
точностью до членов порядка ш С_х = — 3/8ш. В общем случае, когда j
положительно, Cj — малая порядка ш2Л а С_х — малая порядка т2^-1.
§ 18.31. Движение узла в первом приближении
Пусть I (=я/-}-е) — средняя долгота Луны и 0 — ее широта. Тогда, если
пренебречь эксцентриситетом орбиты Луны, то
tg 0 = tg / sin (/ — 2) = f sin (nt e — 2).
Кроме того, z = rtg0, где r = Yus-\- z2. Если рассматривать только члены
первого порядка, то г = а и
z = a*f sin(rt/ + e — 2). (1)
Согласно формуле (5) § 18.30, главный член в z при / = 0 записывается
так:
z = a*fSln(g?-f-P). (2)
Но
‘)Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 38, 43 (1877).
422
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Поэтому
f»5+P==/l* + e — 20 + ( 1Д m —
где
— 2o = fe— 0* + Р—g*t-
Сравнение формул (1) и (2) показывает, что
2 = 20 — ant,
где
g
1. (3)
l + m
С точностью до малых порядка
3 о 57 , ..
®= Jm2— 32 m3- (4)
Вековой член в формуле, определяющей попятное движение узла, имеет вид
2 = — ап.
§ 18.32. Общая картина движения узла
Пусть Zj (= rtjZ-j-Sj) — средняя долгота Солнца относительно
фиксированных осей, лежащих в основной плоскости. Если X, Y
означают координаты Луны по отношению к этим осям, то
X = х cos Zj — у sin lv Y = x sin lx + у cos lv
Пусть, далее,
U = X -\-lY, S — X — IY, (1)
тогда
U — (x + ty)e11*, S = (x —ty)e~il', (2)
HO
h = 6i = m (л — flj) t + ®i = ni (n — flj) (t —10) + 8,
где
8 = m (я — Aj) Z0+ei-
Поэтому
Zj = tn? —|— 8.
Положим d=els. d1 = e~ls, тогда формулы (2) примут вид
U = duC, V — djsC-m, (3)
или
U = d^lalCl+1+m.
$=</12«<с(2<+1+т)- (4)
§ 18.32. Общая картина движения узла
423
Если ?, т), С означает текущие координаты относительно неподвижных осей
OX, OY, OZ, то уравнение мгновенной плоскости, проходящей через точку О
(Земля), Луну и вектор скорости Луны, имеет вид
г v с
X Y Z
X Y Z
:0.
Эта плоскость пересекает основную плоскость С = 0 по прямой, уравнение
которой записывается в виде
? (YZ — YZ) = т) (XZ — XZ).
Долгота узла, измеряемая от оси ОХ, определяется из равенства 1g2 = T|/?.
Поэтому
tgs= .
ё XZ-XZ
откуда, заменяя Z через г, при помощи формул (1) находим iia Uг — zU
ЦРг — г DU
е*
Sz — z$ SDz — zDS
(б)
* = 2 Cr8lXir+i - 2 С,е-\-(2г+г).
Согласно формуле (5) § 18.30,
21_ ат
Пусть С,е19 = К,, Сге~19 = К,, так что К', и Кг являются комплексно
сопряженными величинами. Тогда
z = с* ^ К,? - С_в ^ Х-А2г.
Из этого уравнения и формул (4) после некоторых упрощений мы находим
(UDz - zDU) = Л1+ш-« ^ 2 (2/-4r+l + m+g) aj-гК'-?21 -
Г )
^1+m+g (2/- 4r +1 + m-g) а,_гКг&.
r j
Пусть el® = b, e~lV — bv Тогда Kr = bCr, K'r = b\Cr. Пусть далее Pjt -=
(2/ - 4r +1 + ш + g) aj.rC.r, (6)
QJr = (2/ — 4r +1 + m — g) aj_rCr (7)
424
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Так как значения коэффициентов а и С предполагаются известными, то мы
можем вычислить коэффициенты Р и Q. Мы получим
— (UDz — zDU) = bx dt1+m-* r V Wn rV 4,
a?
[SS^27-^2^2")]- <8>
Поскольку знаменатель в правой части равенства (5) является сопряженным
числителю, то
2L (.SDz - zDS) = Л/Л1“а-С 2 (ЯуЛ?' - ^Qyrc?y+2g)j .
(9)
Если заменить b и й их экспоненциальными выражениями, то уравнение (5)
примет вид
#«<b-»+WisbCS(i+—f )Р^ (1Q)
г,
где через f и f, обозначены выражения, заключенные в квадратные скобки
правых частей формул (8) и (9) соответственно.
Так как а0 = С0=1, то Р0>0, согласно формуле (6), равно
l + m+g. Из формулы (8) § 18.30 видно, что P0i0 имеет нулевой
порядок относительно ш. Аналогично находим, что Q0>0 является величиной
второго порядка.
Пусть
T’hS'v-*'- тЬ 2 «*-*'• о»
Г Г
Тогда
=1 + 2'я/;2' - sjp+ti. (12)
Если коэффициенты R и S разложить в ряды по степеням m и умножить формулу
(12) на P0i 0, то F можно будет записать в виде
F = 1 + тА (С) + т2В (С) + ....
где А (С), В (С). ... — функции С. Поэтому можно написать
ln/7 = ma(C) + m2?(C)+ ...,
где
в (С) = /1 (С), ft (С) = В (С) — )%[А (С)]2
и т. д. Аналогично
ln/71 = ma(C1) + ni2ft(C1)+ ... .
Из равенства (10) поэтому мы получаем
2~8 + p = (l + m-g)? +
+ |-[a(C)-a(C1)]+-^[ft(C)-ft(C,)] + ... . (13)
Очевидно, что правая часть этого равенства является рядом по синусам.
