Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Отх == п\а\ = т.Н2а\.
Уравнение (2) принимает вид
г, dH Зтгпг /й|\1 , я,„ „ „
Иж=—згй-(тг) sln2(°-0i)-
Испрльзуя это равенство, приведем уравнение (1) к виду
, fi тгпг (а,\з,0 _.. , ,, ,
-5огН"“ — я? — гя^Нгг) l3cos2(0 —0,)+1] +
, 3/л*л* du ( аЛЗ . п /л п ч + 2Н2и* db I г, ) Sin 2 — 0i)-
Далее, с точностью до членов порядка е\ включительно имеем
( 7г)3 = 1 +1 ei + Ъе\cos ?i + 7 cos 2ТХ»
где ср! = + ej — о>! — средняя аномалия Солнца.
Аналогично
(-^-)3 cos 2 (0 - 0,) = ( 1 -1 **) cos 2(0 — /,) +
+ \ ех cos(20—2/,-cpj) — -1 ех cos (20—2^ -f- <р,)+ + -j- е\ cos (20 —
2/j — 2cp!)
и
(^-)3sln2(0—0,) = (l ef)sln2(0 —/,)Ч-
+ J*!sin(20 — 2/j—cpj) — ^ex sin (20 — 2/j + cpj) -f-
+-?ф1п(20 — 2/! — 2ft).
где (= rtj/ -f- — средняя аномалия Солнца.
Члены с аргументом 2ср! можно опустить, так как они в комби* нации с
другими членами не дадут непериодических слагаемых рассматриваемого
порядка и, следовательно, не повлияют на окончательный результат.
Для сокращения мы положим
02 = 2 (0 — /j) == 20 — 2я,* — 2elt
03 = 20 — 2/j — cpj = 20 — Znxt — 3е1 -j- <olt (3)
0! — 20 2/| —|— Ср! == 20 tl]t — 6j — U>!«
§ 19.05. Решение при постоянном е\
439
где индекс при 6 совпадает с числовым коэффициентом при nxt. Тогда
уравнения движения примут вид
d2u . ft т3пг (. . 3 о . о„ \
rf02 +в fft 2Нги3 1 2 1 1 )
“ WW [(1 -1 «?)'cos V+ \ е, cos б3 —| е, cos 0,] +
“t" 2Н*и* db [(* -j ei) sin &2“Ь "2 eisin 6з ~2 е\sin ®i] ’ ^
= _ e2jsln02 + |eiSin03_^eiSin9ij. (5)
Дальнейшие вычисления будут заключаться, во-первых, в решении этих
уравнений и получении некоторых общих выражений при условии, что ех —
постоянная, и, во-вторых, в выводе дополнительных уравнений, в которых
принимается во внимание переменность ех, а и п.
§ 19.05. Решение при постоянном ех
В этом параграфе мы будем считать ех, а и п постоянными и найдем
непериодическую часть и с точностью до членов порядка т*е\ включительно.
В дальнейшем члены, входящие в и и 6 и зависящие от эксцентриситета
лунной орбиты, будут опущены, так как в комбинации с другими членами они
не дают непериодических слагаемых, зависящих от ех.
Подставляя общие выражения в уравнения (4) и (5) § 19.04, Адамс показал,
что б и и с точностью до членов порядка т2 включительно— все, что
потребуется в дальнейшем,—можно выразить следующими формулами:
n?-|-e = 0-}-3/ne1sln<pI — -^-/п2^1 —^ ?2jsin02—
— -^-mfyslnOg-J-iim^sinO!, (1)
и== И* ~Jm2ei co»9, + «*(l — -§-*i)cos02+
7 It
+ -j тЧх cos 03 — •^-m2e1cos01 . (2)
Продифференцируем равенство (1) no t. Тогда, вспоминая, что Ti — n\t+6i —
и что, например,
0j = 20 — 2nxt — 2elt
440
Глава 19. Вековое ускорение Луны
так что
sin 02 = 2 (0 — тп) cos 02,
мы будем иметь
п |^1 —3m2«iCostp, — m3^l —?2jcos02—
— HRT m^icos 03+^-cos 0,] =
— ®[l —T"m2(* —T ei)cos®2 — ?^-m2e1cos03+-y-m^1cos 0,j. Отсюда, сохраняя
лишь главные члены, находим
J “ 1 + f т*е\ + 3/“2<ficos *Fi —IT m2 (1 — "§ **) cos °2 ~
— -^-m2e1cos03+-y-m2e1cos01. (3)
НоЯ = г20. так что Я2 = в~402. Поэтому из формул (2) и (3) с точ-
ностью до малых порядка т4 включительно после некоторых алгебраических
упрощений получаем следующее выражение для Я2:
H2 = n2ai[l 2421.„4*2_|_
Y m2( 1 — 4 ei) cos ^2 Т т*е'cos ^*3 — 7 m2gl cos ^
Аналогично выражение для р/Я2 приводится к виду
Р __ Р Г, 135 _4 1881 _4„2
Ят ~ пга4 I 32 64 1
— у /и2 ^ 1 — е\j cos 02 — т?еj cos 03 + -у m?el cos 0j j. (5)
§ 19.06. Вычисление р/Я2 из первого уравнения движения
Рассмотрим теперь первое уравнение движения (4) § 19.04. Дифференцируя
равенство (2) § 19.05, мы получаем da/d9 и cPu/db2; при помощи формулы
(4) § 19.05 можно найти 1 /Я2в3 и (l///2a4)(da/d0) с точностью до малых
порядка т2 включительно, т. е. с точностью, с которой нам нужно знать эти
два члена. Затем из уравнения (4) § 19.04 мы получим выражение для р/Я2,
которое должно быть тождественным с выражением (5) § 19.05. Согласно
формуле (2)
§ 19.07. Новая форма уравнения движения
441
§ 19.05,
—T-)sln0>-
— \ “’«1 (2 _'XL)Sl"9S+ У”’*! (2 ~Jt) Sln*l] •
Из формулы (3) § 19.05 видно, что в этом равенстве достаточно положить 0
= п. Поэтому с точностью до малых порядка т2 включительно имеем
= —2m2^l —-|«2jsin02— 7m2«jSin03-f-m2«i slnSjJ. (1)
Тем же самым путем находим, что
= j [— 4от2 ^ 1 — j cos ®2 — 1 4от2в1 cos 03 + 2m2e, cos 0jJ, (2)
т2пг т% Г. .• 9 , 9 ,Л 5 Л *
+'2ОТ eicosTi—~2т у1 —Te2)cos02 —
— ^pm^jCOsSj+jm^cose,], (3)
= 1Г [~ 2да2 (1 ~ f е1) sin °2 — 7т2е1 sin 03 + «2«1 sin 9i] • (4)
Подставляя эти выражения, а также и, определяемое равенством (2) § 19.06,
в уравнение (5) § 19.04, мы получим следующее выражение для
непериодической части р/Н2:
ТП = <г[1 ~^~~2 я*2(1 ~^~2 ei) 8"да4(1 5в0 ПГm4ei] * ^
Приравнивая это выражение выражению (5) § 19.05 и замечая, что \х/п2а3
очень близко к единице, мы после некоторых упрощений получим с точностью
до членов порядка тА включительно
= 1 4“2 от2(1 +Тв?) + 1й от4 + “б4"от4в1- (6)
Заметим для контроля, что периодические члены (которые здесь не
