Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
предыдущих параграфов соотношениями
Д« = Дх + /Ду, Д$ = Дх — /Ду. (4)
§ 18.20. Переход к новым координатам
На рис. 26 РА — касательная к промежуточной орбите в точке Р и РВ —
нормаль к РА, направленная в сторону возрастания угла <|>. Пусть
координаты точки Q, отнесенные к осям РА и РВ, суть р и q. Тогда
Д х = рС — qS, by=spS-\-qC (1)
и
р = С bx-\~S by, q = — SAx + СДу. (2)
Согласно уравнению (1),
^-(Д*)= рС — qS —фДу, (3)
~ (Ду) = />5 + -f-ф Дх- (4)
Умножим уравнение (3) на х, а уравнение (4) на у и сложим. Тогда,
поскольку x = vC, y = vS, интеграл Якоби (3) § 18.19 примет вид
v(P — чЬ = Р (CFx+SFy)+ Я (— SFX+ CFy), или вследствие формул (8) и (10)
§ 18.18
vCp — qk) — pv + qv 2«i)
§ 18.20. Переход к новым координатам
407
или. наконец.
v 'p — pv = 2vq (ф -f- я,). (5)
Из равенств (3) н (4) имеем
C^(A*) + S^(Ay)*=p-tf>. (6)
-S±^x) + C^m = 'q+ (7)
Продифференцируем равенство (7) и воспользуемся формулой (6). Тогда
получим
Е== - 5-^- (Дх) + С-?г (Ду) =4 (р - уф) + q+ рф + рф. (8)
Но из уравнения (I) и (2) § 18.19, а также из приведенного выше равенства
(6) имеем
Е = — 2я, (р — 0ф) — 5 CxFx + С b.Fr
Поэтому равенство (8) примет вид
Ч + Рф 2р (ф + я,) — (ф -4“ 2ях) = — 5 Д F х-\-С Д Р у. (9)
Легко видеть, что правая часть этого уравнения равна pP-\-qQ, где Р
дается формулой (12) § 18.18, a Q — равенством
Q = S*FXX — 2CSFxy + C*Fyr (10)
Уравнение (9) тогда примет вид
?+Р(ф — ^) + 2р(ф + я,) = ?1ф(Ф + 2я,) + 01.
Принимая во внимание формулу (11) § 18.18, получаем
q — 2 (р — р) (ф + я,) = q [ф (ф + 2я,)+ <?]
или, используя соотношение (5) § 18.20,
?+*?(? + я,)2 = ^1Ф(ФЧ- 2я,) 4- Q1.
Последнее уравнение мы запишем в виде
Ч~\~(п — я,)20 • ^ = 0, (11)
где
(„ _ я,)* 0 = 4 (ф -К я,)2 - Ф (ф + 2я,) — Q. (12)
Найдем эквивалентное выражение для в следующим образом. Из формулы (8) §
18.18 имеем
v = CFx +SFy.
408
Глава 18. Теория Луны Хилла—Брауна
Поэтому
® = ф(—SFx-\-CFУ) + С(хFxx-\-yFxy)-\-S(xFху -\-yFyy) или вследствие
формулы (10) § 18.18
? = ф (ф + 2*,) + (C*FXX + 2 CSFxy + S*F уу).
Это- последнее уравнение эквивалентно следующему:
?=ф(ф + 2*1)+/’„ + /%,-д.
Исключая Q из равенства (12), мы будем иметь
из»
В следующем параграфе мы представим в в виде функции и и $ и в конечном
счете в виде функции С. Как мы увидим, определение постоянной с связано с
решением уравнения (11).
Предположим, что решение уравнения (11) q = q(t) содержит четыре
произвольные постоянные. Тогда соответствующее выражение для р
определится из уравнения (5) § 18.20, которое можно записать в виде
откуда
p = 2vf ±(ф + Я1)Л.
Как мы увидим в дальнейшем, v и f выражаются через t или С. Поэтому р
можно определить без труда. Значения Д* и Ду следуют из формул (1) §
18.20, а по ним определяются Ди и Дs.
§ 18.21. Функция в
Функция 0 определяется равенством (13) § 18.20. Проделаем следующие
преобразования.
1) v/v. Мы имеем Далее, г>2 = и$. Следовательно.
§ 18.22. Уравнение для определения q
409
Кроме того, d/dt = t(n— n{)D. Поэтому мы получим
2) (ф + я,). Из формулы (9) § 18.18 имеем
V2ф = ху — ху.
Так как 2x = u-\-s, 2ty = u—s и v2 = us, то последнее равенстио запишется
в виде
ф = -1— (us — иs) = — (^- 4-).
Y 2;»» 4 2i \ и s}
Поэтому
; I / JI ID4 Dis\ . I ^Л,) |. 2 ( DF “-Di" j + ш j •
3) Fxx-\-Fyy. Из формулы (5) § 18.18 немедленно находим
Рх* + Руу = Т>+ 3П\ = (я - я,)* (f; + 3m’), так как, согласно формулам
(8) и (9) § 18.04, я1 = т(я—я^
И |А = Х(Я Я().
Подставляя эти формулы в уравнение (13) § 18.20, получаем
0 = — (F + m’)+2[l(w—4f) + m] —
-И#+?Н(-?+?Г- (1)
§ 18.22. Уравнение для определения q
Перепишем уравнение (11) § 18.20
q + (я — я^2 9 q = 0.
Его также можно записать в виде
?>2? = 0?, (1)
где 9 определяется формулой (1) предыдущего параграфа. В последнее
уравнение подставим
« = 2«/:а'+1. e=Sajc-y-1
и таким образом определим 9 как функцию от С и коэффициентов а. Из
формулы (10) § 18.12 замечаем, что выражение
? + т2.
410
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
где /-2~p2 = as, имеет вид ^cos2/^, причем коэффициенты Р( — известные
функции ш. Как мы увидим далее, остальные ела* гаемые правой части
равенства (1) § 18.21, определяющего функцию в, имеют такую же форму.
Поэтому в может быть написана следующим образом:
0 = 0o+20,cos2$ + 202 cos 4;+ ... =20^.
где 0_/ = 0/.
§ 18.23. Коэффициенты 0/
Воспользуемся теперь результатами § 18.06 для произведения и частного
рядов.
1) Мы имеем
D2u _ Ъ(2)+\?а?> _ у w Du ~ 2<2/+1 )afil ’
откуда, как и в п. 8 § 18.06, могут быть получены коэффициенты Qt. Далее,
D2s "ZW+lfajrV _ 'ZW+tfajlV
Ds ~ 2(2У-Н)«,Г2' S(2y+De^
— SQiCf — SQ-/:11.
Следовательно,
e-Sr-^-Se^+Oi
т. e. E имеет вид ^Ptcos2li. Легко видеть, что здесь Q0 = 1. Записывая Е
в виде
f = 2(Q/ + Q-/)C2/ = 2 2^2<. где V0—l и 2Vl = Ql-\-Q_l, мы будем иметь
Е^Ц-тш--ж)+'"=Ъ^г‘-
где сумма 1 -|- ш обозначена через V0. Следовательно,
??=2^2У • 2^=2^”
Коэффициенты W могут быть определены с помощью метода, изложенного в п. 1
§ 18.06, сначала как функции коэффициентов V,
