Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
напряжений, распределённых по границам параллелепипеда:
- Д 'Р-, V/, 1,1,Ъ(,,Ы+ ... (4.8)
Подсчитаем теперь приращение полной энергии, обусловленное
процессом теплопроводности. Обозначим температуру через Т, коэффициент
теплопроводности через х, а термический эквивалент работы через А.
86 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
Через переднюю грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии
qv за промежуток времени Дt будет передано по закону Фурье следующее
количество тепла:
Через противоположную грань за тот же промежуток времени будет передано
количество тепла, равное
Следовательно, внутри параллелепипеда задержится следующее количество
тепла:
Повторяя такие же рассуждения по отношению к остальным граням
параллелепипеда, получим:
Складывая выражения (4.9) и (4.10) и деля на термический эквивалент А,
получим то приращение полной энергии в фиксированном объёме, которое
обусловлено процессом теплопроводности:
Других источников изменения полной энергии в рассматриваемом объёме нет,
поэтому приращение энергии, представленное выражением (4.1), мы должны
приравнять сумме отдельных приращений, представленных формулами (4.4),
(4.5), (4.8) и (4.11). Обе части полученного равенства разделим на
HlH2H.ibqlbq.2bqi\t и перейдём к пределу, стягивая параллелепипед в точку
и уменьшая промежуток времени Дt до нуля. В результате получим
' дТ ii.jl;
дТ ll.Jh
dqx Н/
) 5ft 8ft Oft Lt + . ..
(4.9)
(4.10)
J_ Г А Л A i 1/A ,
A [dftV'dft ) dftV dq2 H2 )
дТ HM
§ 41
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ
87
следующее уравнение изменения полной энергии в фиксированной точке
области, занятой средой:
Уравнение (4.12) можно также называть уравнением переноса полной энергии.
Оно в своей простейшей форме было введено впервые в рассмотрение Н. А.
Умовым1) в 1873 г.
Группируя слагаемые в правой части (4.12), получим:
Выражение в фигурной скобке в правой части (4.13) представляет собой
дивергенцию особого вектора, который можно назвать вектором плотности
потока переноса полной энергии. Обозначая этот вектор через Е, для его
компонент будем иметь следующие выражения:
(4.14)
1) Умов Н. А., Избранные сочинения, Гостехиздат, 1950.
88 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
При этих обозначениях уравнение переноса полной энергии (4.13)
представится в виде
^[P(T+*)]=ff • v'-s7k[4(e'HA)+
+4<е"ВД)+4, ¦ (4-15)
В декартовых координатах уравнение переноса полной энергии
(4.15) будет иметь вид
д Г (У* . Y1 f v (дЕх ,дЕу дЕ3\ + v-Ut+ d7 + ~dl)'
(4.16)
где ппоекции Ex, Ey и E3 вектора плотности потока полной энергии равны
с I \ I, ^ дТ
(V2 I \ * дТ
Еу - ?v 2 + 8) Ру V А ду'
Ег = рЦ^+з) - Pz ¦ ^ -^
X дт dz'
(4.17)
§ 5. Уравнение изменения внутренней энергии
Преобразуем полученное уравнение (4.12) переноса полной энергии. Так как
1у* = 1 V- V,
±(V*\_dV у dt\2]-dt '
то уравнение (4.12) можно представить в виде
v (<Эу , v±d_V_ , Щ_ду_ | __
1 1 dt H^dq^ H2dq2 H3dq3
-p- w. [4<л ЯЛ)+к (рЛИ>]+к {Р>НМ 1+ +(?+¦)(?+тш [4(№ВД)+4 +
;] =
I д / и и ч! 1 , \дг . v-j_ дг . v2 дг
+ | + P [й + 74 + Я2
vn de
J%dth.
H1dq1
-Pi
dV
H2dq2
Pi
1
M^dqз ~ AIIJLJI^ dq2 V dq2 /I
d /" d T /у/л , ,^i\ 4i n1)~
\нл , d ( дТНгН2V
H-i )~T~ dq3\' dq3 H3 )
УРАВНЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ
89
Первая фигурная скобка в силу уравнения (3.1), вторая - на основании
уравнения (1.8) обращаются в нуль. В результате .получим уравнение
Р
Где . Vi de . V2 de . V3 де 1 ______________
дР , 1 Г д ( дТ Ио-И*
~Ру ' fltdqi "(tm) ' H2dq2 >Pi' H3dq3 ' AHJi%Hb [dqX'dqt h
¦ д йТ Н,НЛ д / . ^dq.V'dqo Hoj^dqA''
д Т HtH2 dq2\''dq2 Н2 dq3V'dq3 tf3
(5.1)
Так как выражение в скобке в левой части (5.1) представляет собой
индивидуальную производную от внутренней энергии фиксированной частицы,
то полученное уравнение есть уравнение изменения внутренней энергии
фиксированной частицы с постоянной массой.
В декартовых координатах уравнение (5.1) изменения внутренней энергии
представится в виде
Где . де . де . де\ dV , dV . dV ,
р(dt + udi+vdj+wTz)-p*Tx+py • ^+/,*'57 +
+' (5,2)
Раскрывая скалярные произведения трёх первых слагаемых в правой части
(5.2), получим:
дР , *^_i_ ^______ ди . dv | dw I
Рх дх~^РУ dy~^Pz dz Рхх jqx I- Pxy (jx ~Г Pxz ~P
i du | dv dw I дм , dv , dw
i Pyx dy ' Руу dy Pyz ~ду ' Pzx dl Pzy dz Pzz~dz '
Учитывая соотношения взаимности касательных напряжений (10.17) главы I и
обозначения компонент скоростей деформаций (5.5) главы I, будем иметь:
дР | dV-, дР_
Рх дх'РУ dy Pz dz
Рхх^хх ~I-Руугуу ~I-Pzzezz ~I- ^Рху^ху~\~ %Pyz-yz~\~ <^Pzxtzx' (5.3)
С помощью соотношений (11.1), (11.16) главы I, представляющих обобщённую
гипотезу Ньютона для вязкой жидкости, равенство (5.3) можно записать:
dP, dV_
Рх • дх ~\~Ру • ду Pz • dz -
= - Г"+(У ¦-т) "а ¦+ ч,+*"+4+2 (•i.+i+i) 1 • (5-4)
90 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
Таким образом, уравнение (5.2) изменения внутренней энергии фиксированной
частицы вязкой жидкости представится в виде
