Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
мер, индивидуальная производная от температуры фиксированной частицы
постоянной массы будет представляться в виде
к = Ъ
dT V1 дТ
dt ' dt 2j Hie dqk ' к = 1
Заметим, что уравнение, выражающее закон Ньютона для фиксированной
частицы с постоянной массой, мы получили из уравнения (2.10). Если
исходить из уравнения (3.1), выражающего закон Ньютона, то, прибавляя к
левой части произведение вектора скорости V на левую часть уравнения
неразрывности (1.7), мы получим уравнение (2.10), выражающее изменение
количества движения в фиксированной точке пространства. Следовательно,
используемая в § 2 теорема об изменении вектора количества движения в
фиксированном элементарном параллелепипеде для случая среды частиц с
постоянными массами полностью эквивалентна закону Ньютона. Однако
приводимая в § 2 формулировка теоремы об изменении количества движения
имеет преимущество по сравнению с обычной формулировкой закона Ньютона.
Это преимущество заключается не только в том, что для вывода уравнения
(2.10) не потребовалось понятия ускорения фиксированной частицы, но и в
том, что рассуждения по выводу уравнения (2.10) оказались весьма простыми
и сходными с рассуждениями по выводу уравнения (1.7) изменения масс.
Следовательно, способ Эйлера изучения движения только в окрестности
фиксированной точки пространства проведён последовательно не только при
выводе уравнения неразрывности, но и при выводе основного уравнения
движения среды.
Входящие в уравнение (3.1) векторы V, pv р.2 и р.л можно представить в
виде суммы произведений проекций этих векторов на касательные к
координатным линиям на единичные векторы этих ' . 7,s, т. е.
к-8
Vhl
к*к>
к = 1
к = 3
¦ 2 Pmklk •
fc = l
(3.2)
При подстановке этих выражений (3.2) в уравнение (3.1) следует учитывать,
что единичные векторы iv /2 и /3 меняют своё направление. Подсчёт частных
производных от единичных векторов по координатам проведём для частных
случаев.
Для случая обычных декартовых координат будем иметь:
q1 = x, q%=y> qb = z\
Их= 1, На = 1 ' Я8 = 1;
ix = const, i2 = const, ie = const
vx = и, & II Cl ? & II W ?
80 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
du du du
dx + V dy -)- w dz
dv + dv -)- w dv
dx V dy dz
dw dw dw
dx + V W -)- w dz
др,
dPz
Следовательно, уравнение (3.1) в проекциях на декартовы оси координат
представится в виде
да
Ж+а-
dv
~di ~
dw
р \ дх
К dx ' dy 1 dz ,
fdPxy 1 дРуу ¦ dPzy
К dx ' dy ' dz ,
dpxz , dPyz , dpzz N
(3.3)
Возьмём теперь случай цилиндрических координат. Для этого слу-
чая будем иметь (рис. 19)
4i = r, Я-2 = ?. % = z\
H,= 1, H2 = г, Я8 = 1;
V1 = vn v2 = vr ti3 = vg;
Pll = Pm Pl2 = РгГ Pr& = Prz'
P-21 = Pen P'22 _Pff' Р-2Ч ~ P<fZ'
Р31 = Pzn Pm = Pz<t> Pm Pzz'
(3.4)
Из единичных векторов i1, i.2, i.A последний будет постоянным, а первые
два будут меняться по углу теоретической механики известно, что
di-
di~>
В данном случае вектор угловой скорости поворота направлен по _ dv?
оси Z и по величине равен ^, т. е.
dv? .
w=di^'
а поэтому будем иметь:
= *'з X h = к
dh
2' dy
h X i-2 -
-I,.
Учитывая эти равенства, получим: д {vrh + v<fh + vzh) =
dq2 dv?
dvr dv" . , dvz .
-жli ^ я*li Vyt'2 ~v,ftv
(HsHtp2) = ~ (/VC + + Яр A) -
dpyr ,
(3.5)
(3.6)
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ В НАПРЯЖЕНИЯХ 81
Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.4) и (3.6) и собирая
коэффициенты слева и справа при одинаковых единичных векторах, получим
следующие дифференциальные уравнения движения сплошной среды в
цилиндрических координатах в компонентах.напряжений:
- F -u-Lr^ rr _L
дрг<р . д_Р гг . Prr /VA I
dVy dVy VydVv dv<p vrv9
~5t+vr + + =
" . 1 f^P'cr | 1 др,э,э друг 2pr<f\ ^ ^
~ v^y\drr~^T~d^''^~dr~^~r)'
dvz . dvz vadvz dvz
It + :r+ 7 ^ Si ~
__ 1 (dp zr I 1 dPzf | ^PzZ | Prz N I
Z'~p\dr'rd'st'~dz'r)':
Возьмём теперь случай сферических координат (рис. 20). Для этого случая
будем иметь:
qx = R,
Я1= 1,
Ри=Ряя'
Р> 1 = РьЯ'
Рп=Р,я>
В данном случае все единичные векторы изменяют своё направление при
переходе из Рис. 20.
одной точки в другую, если этот переход
связан с изменением двух координат Й и ср. Вектор угловой скорости
поворота с изменением угла 0 будет направлен по касательной к
координатной линии ср, т. е.
Вектор же угловой скорости поворота с изменением угла ср будет направлен
по оси Z, и поэтому будем иметь:
Я-i = 0, Я-i = (r);
я. = R, V, = R sin (J
vi = *", v3 = v ; <P
Ри = Prh ' Ри = PRf>
Рш = Pw Р-2, = *У
Р-62 =v Ра = p . /?<f>
(3.8)
82 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (гл- 11
Учитывая эти равенства и равенства для производных от единичных векторов
по времени, получим:
дА
30
= tgX*! = i2. Щ = (cos Ы1 - sin в*а) Х*1 = sin 0*з>
Ж = *"Х*а = ~ *1> ^ = (cos 6*1- sin W2> Х*2 = cos 0*8,
= i8X"8 = 0, ^- = (COS 0*!-Sin 0*2)X*3 =- C0S 0*2-Sine*!.
(3.9)
На основании этих равенств будем иметь:
dV d . , . .
3^ = Ж[АА + % + ^ =
3z/,
Згл
30
3 V 3 r . , . , . .
