Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вектор поляризации дается выражением (6.2) или более общей формулой,
справедливой для частот, при которых нельзя пренебречь собственными
частотами колебаний атомов. В сущности, единственно важное допущение
сводится к утверждению о пропорциональности между вектором поляризации и
напряженностью поля. В отличие от Эвальда Лауэ считает число электронов в
единице объема N непрерывной периодической функцией координат, как это и
предполагалось в предыдущих параграфах. Как видно, трактовка Лауэ
представляет собой естественное обобщение теории Эвальда и не содержит
никаких новых принципов. Имеется еще небольшое техническое отличие: Лауэ
пользуется уравнениями не для вектора Герца Z, а для электрической
индукции D. Вектор Герца очень удобен при рассмотрении поля изолированных
диполей, колеблющихся в одном и том же направлении, но в задаче о
рассеянии рентгеновских лучей, эта модель не всегда хороша, и вектор
Герца теряет большую часть своей ценности. Преимущество использования
индукции D состоит в том, что с помощью последней можно сразу найти
напряженность электрического поля Е, а затем по формуле (6.2) и вектор
поляризации.
Прежде чем перейти к изложению теории Лауэ, рассмотрим задачу в более
общем виде. Диэлектрическая проницаемость и показатель преломления
получаются из формулы (6.2); так как число электронов в единице объема N
предполагается периодической функцией координат, то периодической
функцией будет и показатель преломления. Ситуация аналогична той, которая
возникает при рассмотрении уравнения Шредингера для движения электрона в
периодическом потенциальном поле. Напомним, что при элементарном выводе
уравнения Шредингера рассматривается волна де Бройля постоянной частоты
(или энергии), длина которой меняется от точки к точке. В периодическом
поле длина волны периодически зависит от координаты. Именно это и
предполагается в теории дифракции рентгеновских лучей по Лауэ.
Таким образом, мы приходим к задаче о рассеянии рентгеновских лучей, зная
решение уравнения Шредингера для соответствующей квантовомеханической
задачи, рассмотренной и книге [7] при изучении энергетических зон1). До
недавнего времени лишь малая часть исследователей, интересовавшихся
динамической теорией рассеяния рентгеновских лучей, отдавала себе отчет в
этом обстоятельстве2). Соответственно две теории
¦) См. также ["]. - Прим. ред.
а) Указанное сходство было подчеркнуто автором в обзорной статье [и].
Аналогия с уравнением Шредингера была рассмотрена также в работах [23'
м].
166
Гл. 6. Теория дифракции рентгеновских луней
развивались в общем независимо друг от друга, однако использование
результатов зонной теории может во многом упростить динамическую теорию
рассеяния. Но прежде чем перейти к практическим методам решения, обсудим
некоторые различия между этими двумя задачами.
Основное отличие состоит в том, что у рентгеновских лучей длина волны
меняется в пространстве гораздо меньше, чем у электронов. Показатель
преломления рентгеновских лучей отличается от единицы на величину порядка
10~5. Периодическое изменение с координатой претерпевает лишь эта очень
малая величина. Таким образом, случай рентгеновских лучей аналогичен
предельному случаю свободных электронов. Поэтому в отличие от случая
электронов разложение поля по плоским волнам должно быстро сходиться, и
можно ожидать, что оно окажется вполне пригодным для практических целей.
Таким образом, теория Лауэ, использующая разложение по плоским волнам
должна давать вполне удовлетворительные результаты. Как мы сейчас увидим,
окончательные формулы ее очень похожи на те, которые получаются при
решении уравнения Шредингера с периодическим потенциалом при помощи
разложения по плоским волнам. Кроме того, все представления о зонах
Бриллюэна, о разрешенных и запрещенных энергетических зонах и т. д.
применимы к рентгеновским лучам в той же мере, что и к электронам.
Аналогия между этими двумя задачами была бы совсем полной, если бы
электрическое поле не было векторной величиной и вместо скалярного
уравнения волновой механики не нужно было решать уравнения Максвелла. Это
ведет к некоторым усложнениям, связанным с направлением плоскости
поляризации поперечных электромагнитных волн. Однако последние не
приводят к сколько-нибудь значительным трудностям, а в отдельных частных
случаях связь между двумя указанными проблемами оказывается очень тесной.
§ 4. Вариант динамической теории, предложенный Лауэ
Теория Лауэ исходит из разложения вектора электрической индукции D в ряд
вида (4.30). Мы не будем разбивать вектор к на вещественную и мнимую
части, хотя это можно было бы сделать. Имеем.
D = 2 D (К) ехр {г [со/ - (к + К) ¦ г]}. (6.10)
К
Из уравнения div D = 0 следует, что
2 [(к + К) • D (К)] ехр {г [со/ - (к + К) ¦ г]} = 0. (6,11)
к
§ 4. Вариант динамической теории, предложенный Лауэ
167
Поскольку равенство (6.11) должно выполняться во всех точках пространства
в любой момент времени, коэффициенты ряда должны быть равны нулю. Таким
