Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
чие от случая электронов эти методы дают результаты, пригодные для
практического использования. Начнем с определения диагональных матричных
элементов энергии, пренебрегая всеми недиагональными элементами в
уравнении (6.22). Получаем
(6-24)
С (Ие)ср
Эта формула означает просто, что частота и длина волны связаны друг с
другом так же, как в плоской волне, распространяющейся в среде с
постоянной диэлектрической проницаемостью (хе)Ср. Если рассматривать со2
как функцию от к, то для каждого значения К получится выражение вида
(6,24), В тех точках обратной решетки, где две или более таких функций
принимают одинаковые значения, недиагональные матричные элементы в (6.22)
приведут к расщеплению двух или более значений со. При этом в спектре
величины со как функции от к получатся разрывы, аналогичные запрещенным
зонам в задаче Шредингера для периодического потенциала. Эти зоны
отвечают областям значений со, при которых распространение волны в
кристалле невозможно, а могут существовать только затухающие волны. Это
именно те волны, которые связаны с брэгговским отражением. В следующем
параграфе мы покажем, что таким путем можно прийти к весьма полной
трактовке брэгговского отражения.
§ 5. Дифракция рентгеновских лучей в случае синусоидально меняющегося
показателя преломления
Прежде всего положим в (6.22) К = 0 и будем считать к волновым вектором в
схеме расширенных зон, так что величина к2/(хе)ср очень близка к со2/с2,
Тогда уравнению (6.22) будут удовлетворять большие значения D(0) и,
вообще говоря, малые величины D при других значениях аргумента. Если,
однако, существует такой вектор К', что величина (к + К')2 почти равна
к2, так что выполняется условие Брэгга, то этому вектору К' также может
соответствовать большой коэффициент D(K')- Недиагональный матричный
элемент энергии возмущения, взятый между указанными состояниями, равен
до(К')(к + К')2- Поскольку речь идет о брэгговском отражении,
существенным будет только этот матричный элемент и связанный с ним
элемент, содержащий w(-К')- С хорошей точностью можно рассматривать это
отражение, пренебрегая всеми другими величинами w и считая отличными от
нуля только коэффициенты w(± К')-При этом вместо суперпозиции,
характерной для реального кристалла, мы будем иметь синусоидальное
изменение показателя
§ 5. Дифракция рентгеновских лучей
171
преломления. В случае синусоидального показателя преломления, следуя
методам, изложенным в [7] '), легко получить точное решение. Поскольку
рассматриваемое брэгговское отражение определяется только матричными
элементами с mi(±K'). это решение дает нам в сущности все, что требуется
узнать из динамической теории.
Преобразуем теперь уравнение (6.22), опуская в сумме по К' все члены,
кроме слагаемых с данным вектором К' и с -К'. Тогда останутся только
коэффициенты D(nK'). где п - целое число (отличные от нуля матричные
элементы имеются только между этими плоскими волнами). Положим
ai(K')"a>(-К') = = w. Тогда уравнение (6.22) примет вид
[( -(^- " D (пКО + w (к + пКТ (D [(и - 1) К'] -
(к + "КО {(к + "К') ¦ D [(я - 1) КН) , "г/.. ,
(Г+VkT +Dl(n + 1)K ]-
_ (k + яЩ {(k + пК') ¦ D [(n + 1) К']} ) _ n ((.
(k + лКУ j ( '
Это уравнение имеет ту же форму, что и соответствующее уравнение
Шредингера (см. [7], гл. 6, § 6). Последнее имеет вид
[(р + hf - E (/?)] v (р + А) - W [и {р + A - 1) + v {р + A + 1)] = 0.
(6.26)
Здесь р - импульс, эквивалентный нашему к, А -эквивалент пК', число Е
соответствует ш2/с2, а -W отвечает w(k + пК')2-Коэффициентам v в нашем
случае соответствуют коэффициенты D. Существенная аналогия состоит в том,
что рассматриваемые уравнения связывают значения D (или и) с тремя
индексами: п, п-1 и п + 1. Это дает рекуррентную формулу для D (или и). С
ее помощью, зная два значения D как функции п, мы можем найти следующее
значение и т. д. При стремлении п к бесконечности обычно оказывается, что
D неограниченно возрастает. Однако, выбирая должным образом первые два
значения D, можно добиться того, чтобы при больших п коэффициенты D
стремились к нулю. Как при положительных, так и при отрицательных
значениях п это оказывается возможным лишь при некоторых определенных
значениях ш2/с2. Тем самым определяется зависимость частоты ш от
волнового вектора к.
Как можно показать (см. [7]), при малом отклонении от случая плоских волн
(т. е. в нашем случае при малых w) заметно отличны от нуля не более двух
коэффициентов D. Они представляют собой амплитуды падающей и единственной
отражен-
') См. также [3°.3J], - Прим. ред.
172
Г л. 6. Теория дифракции рентгеновских лучей
ной волн. Поскольку мы взяли к в схеме расширенных зон, одним из этих
больших коэффициентов D будет D'(0), а другим- либо D(K'). либо D(-К') в
зависимости от значения к. Если предполагается, что (к + К')2~к2, то
вторым большим коэффициентом D будет D(K'). При этом мы имеем случай,
показанный на фиг. 6.1, где вектор К' обозначен через К.
В нашем случае возникает одно усложнение по сравнению с задачей
