Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
образом, получаем
еткуда следует, что вектор D(K), т. е. коэффициент Фурье при exp{j'[W-(k
+ K)-r]}, должен быть перпендикулярен волновому вектору данной волны к +
К. Причина, по которой Лауэ предпочитал разлагать в ряд не Е, a D,
состоит в том, что вектор Е не обладает этим свойством.
Теперь нужно получить разложение вектора Е. Поскольку он равен D/eoxe,
где ис - диэлектрическая проницаемость, периодически зависящая от
координат, то задача сводится к разложению величины 1 /ие в ряд по
функциям ехр(-/К-г). Положим
Коэффициенты и;(К) можно выразить через фурье-компоненты плотности заряда
и, следовательно, через структурные множители.
В рассматриваемом предельном случае диэлектрическая проницаемость,
согласно (5.32), равна
Это выражение можно записать в виде
где F - структурный множитель, определяемый формулой (6.9). а Я - объем
элементарной ячейки. Для проверки последнего соотношения достаточно
умножить его на exp(t'K-r) и проинтегрировать по объему элементарной
ячейки. Диэлектрическая проницаемость очень близка к единице, поэтому с
хорошим приближением можно написать
(к + К) • D (К) = О,
(6.12)
-?- = ^ву(К)ехр(- /К - г).
(6.13)
к
(6.16)
к
так что
при К Ф О,
(6.17)
168
Гл. 6. Теория дифракции рентгеновских лучей
Здесь (N) Ср и (хе)ср - величины, усредненные по элементарной ячейке, так
что (хе) Ср представляет собой обычную диэлектрическую проницаемость.
Умножая выражение (6.10) для D на
(6.13) для 1/х,., получаем еоЕ:
е0Е = -±- D = 2 D (К - К') w (КО ехр {/ [ш/ - (к + К) ¦ г]}. (6.18)
е К. К'
Выведем теперь волновое уравнение для D. Уравнения Максвелла для
немагнитной среды имеют вид
, " ав ан
rot Е = - ~зГ = _ ~дГ'
, " dD
Если взять производную по времени от второго уравнения и ротор от первого
и воспользоваться векторным тождеством
rot rot Е = grad div Е - ^Е,
то получим
rot rot Е = grav div Е - V*E = - Но rot H = - Ho^ir- (6.19)
Подставляя сюда выражения для D и Е из (6.10) и (6.18) и выполняя
необходимые операции, находим
~Т0 S{(k + K)[(k + K)-D(K-K')]~
К.К'
- (к + К)2 D (К - К')} w (КО ехр {t [со/ - (к + К) • г]} =
= Цоф2 2 D (К) ехр {/ [со/ - (к + К) • г]}. (6.20)
к
Как и прежде, это равенство может выполняться во всех точках пространства
в любой момент времени лишь в том случае, если совпадают все фурье-
компоненты в отдельности. Поэтому
e0p0co2D'(K) = 2 {(к + К)2 D (К - КО -к'
- (к + К) [(к + К) • D (К - КО]} w (КО- (6.21) Выделяя член с К' = 0,
перепишем результат в виде
тЧ0(К)+ 2 w (КО (к + К)2 X X { D (К - КО - (к * К) [(k(k + (К ~ У)] } =
0- (6.22)
jf 4. Вариант динамической теории, предложенный Лауэ 169
Это уравнение по существу совпадает с результатом Лауэ, хотя наш вывод
несколько отличается от его расчета. При получении последнего уравнения
мы воспользовались соотношением еоц0 = = 1/с2, где с - скорость света в
пустоте.
Уравнение (6.22) имеет стандартный вид задачи на собственные значения. Мы
сталкиваемся с ней, например, при решении уравнения Шредингера путем
разложения волновой функции в ряд по базисным функциям. Как видно из
формулы (6.10), величины D(K) представляют собой коэффициенты разложения
по плоским волнам, которые и играют в данном случае роль базисных
функций. Величина (К+к)2/(хе) ср соответствует диагональному матричному
элементу энергии; со2/с2 играет роль собственного значения энергии Е, а
йу(К')(к + К)2 - роль недиагонального матричного элемента между
состояниями К и К - К'. Единственное усложнение состоит в том, что в
уравнение (6.22) входит величина
D (К - К') - (-k +- t(k(i^Kj^r (- . (6.23)
а не просто D(K-К')- Как отметил еще Лауэ, второй член в
(6.23) представляет собой компоненту вектора D(K- К') в направлении
волнового вектора к + К, так что все выражение
(6.23) определяет компоненту D(K-К'), перпендикулярную к + К. При К' = 0
второй член в силу (6.12) обращается в нуль, но в остальных случаях он
отличен от. нуля. Другими словами, роль коэффициентов, подлежащих
определению из уравнения
(6.22), играют компоненты вектора D, перпендикулярные векторам к + К.
Теперь можно решать эти уравнения так же, как в квантовомеханической
теории возмущений. Приравнивая нулю определитель, составленный из
коэффициентов уравнения при данном к, получаем секулярное уравнение для
со2. В те времена, когда писали свои статьи Эвальд, Лауэ и др., еще не
было вычислительных средств для решения таких секулярных уравнений.
Соответственно названные авторы ограничивались рассмотрением простых
частных случаев. Однако в наше время, когда появились вычислительные
машины, легко получить решение с любой желаемой точностью, удерживая
конечное число членов ряда. Достижение необходимой точности возможно
благодаря быстрой сходимости ряда (6.10) обусловленной очень малыми
значениями величин ш(К') при К'^=0.
Для решения уравнения (6.22) можно воспользоваться всей техникой,
описанной в гл. 6 и 7 книги П1). Однако здесь в отли-
*) См. также [30]. - Прим. ред.
170
Гл. в. Теория дифракции рентгеновских лучей
