Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ли применять метод самосогласованного поля или, может быть, использовать
некоторую его модификацию?
§ 2. Одноэлектронные энергии и электронное возбуждение
Наиболее характерный пример использования одноэлектронных энергий для
описания электронного возбуждения в кристаллах мы встречаем в задачах,
связанных со статистикой Ферми. При этом предполагается, что имеется газ
невзаимодействующих частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули, но
находящихся в произвольном внешнем поле, так что расположение
296
f л. И. Кристалл как задача многих тел
их энергетических уровней может быть каким угодно. Эти условия включают,
в частности, и случай периодического потенциала, рассматриваемый нами, с
его характерной группировкой энергетических уровней в зоны. Понимая
статистику Ферми буквально, мы должны вычислять энергию всего кристалла
как сумму одноэлектронных энергий. Однако мы полностью отдаем себе отчет
в том, что нолная энергия системы в приближении Хартри - Фока не равна
сумме одноэлектронных энергий. Имеются и другие члены (обусловленные
взаимодействием между парами электронов), которые входят в выражение для
полной энергии, существенно изменяя его. Поэтому нельзя считать, что
статистика Ферми, лежащая в основе всей современной теории
полупроводников и металлов, вытекает каким-либо непосредственным образом
из основных постулатов многоэлектронной теории. Этот серьезный пробел в
логическом обосновании теории остался незамеченным многими
исследователями, работающими в физике твердого тела 1).1
Тем не менее метод работает вполне удовлетворительно, и поэтому следует
ожидать, что для малых энергий возбуждения, которыми мы обычно
интересуемся, энергию возбуждения действительно можно выразить в виде
суммы одноэлектронных членов, причем приближение оказывается значительно
лучшим, чем можно было бы предполагать на первый взгляд. В
полупроводнике, например, при довольно низкой температуре сравнительно
немного электронов будет возбуждено из валентной зоны в зону
проводимости. Эти возбужденные электроны будут находиться в среднем
далеко друг от друга. Поэтому их в хорошем приближении можно
рассматривать как независимые. Эффекты взаимодействия возбужденных
электронов и дырок становятся существенными лишь тогда, когда два или
более возбужденных электронов или дырок или электрон и дырка оказываются
вблизи друг от друга. Эти случаи следует рассматривать отдельно; исключая
их, можно с хорошим приближением рассматривать энергию возбуждения
кристалла как сумму энергий отдельных возбужденных электронов (хотя
вместе с тем полная энергия кристалла отнюдь не равна сумме
одноэлектронных энергий всех электронов).
В отдельных упрощенных случаях удается показать, что это приблизительно
верно: энергию возбуждения можно записать в виде суммы одноэлектронных
энергий. В приложении 13 книги ['] была рассмотрена задача о кольце из
шести атомов водорода как весьма упрощенной модели одномерного кристалла.
') В настоящее время этот подход получил точное обоснование с помощью
современных методов теории многих тел. - Прим. ред.
§ 2, Одноэлектронные энергии и электронное возбуждение
297
Эта задача достаточно проста, так что по методу конфигурационного
взаимодействия можно выполнить приближенный расчет, близкий к точному
рассмотрению мультиплетов, связанных с различными возможными
возбужденными состояниями электронов. В схеме молекулярных орбит в
основном состоянии шесть электронов находятся на трех уровнях с самой
низкой энергией, так что низшие состояния в энергетической зоне
заполнены, а верхние свободны. Мы рассматриваем, однако, все возможные
возбуждения, при которых шесть электронов остаются в той же
энергетической зоне, способной вместить 12 электронов. Этим возбуждениям
отвечает множество мультиплетов; любой из них можно описать с помощью
квантовых чисел заполненных молекулярных орбит. Эти квантовые числа в
данном случае аналогичны компонентам вектора к в теории энергетических
зон. Полная трактовка задачи о всех этих муль-типлетах на основе метода
конфигурационного взаимодействия описана в указанном выше приложении
книги [4].
В этом приложении, в частности в § 2, приведены результаты
одноэлектронного приближения. Иными словами, мы приписываем значения
энергии каждому из состояний энергетической зоны и сравниваем сумму этих
энергий, соответствующих заполненным состояниям, со взвешенным средним
значением энергии мультиплетов, возникающих, как следует из расчета по
методу конфигурационного взаимодействия, когда эти состояния заполнены.
Результат сравнения, обсуждаемый в указанном параграфе и изображенный
графически на фиг. П13.2 для низших возбужденных уровней, сводится к
тому, что сумма одноэлектронных энергий дает удивительно хорошее
приближение для этого взвешенного среднего значения энергии. Как
указывалось в том же приложении, невозможно каким-либо строгим образом
априори доказать, что это согласие должно было получиться. Оно
