Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
падает, уменьшаясь на значительную величину.
Аналогичный эффект обнаружен и в металле в рамках модели свободных
электронов. Формула (10.7) дает выражение для обменного потенциала,
действующего на электрон из распределения Ферми. Это выражение
пропорционально функции импульса которая изменяется от единицы на дне
распре-
деления Ферми до 7г на вершине его и далее до нуля в области возбужденных
состояний. Таким образом, учитывая, что обменная энергия отрицательна, мы
видим, что уровни нижней части распределения понижены на максимальную
величину, уменьшающуюся с подъемом по энергии к возбужденным состояниям.
300
Гл. И. Кристалл как задача многих тел
Это ведет к обеднению плотности состояний в окрестности уровня Ферми, где
наклон кривой Z7(т]) становится вертикальным. На фиг. 11.1 показана
рассчитанная Реймсом [6] плотность состояний системы свободных электронов
с учетом этой обменной поправки. Видно, что плотность состояний уже не
пропорциональна квадратному корню из энергии, как получилось бы для
свободных электронов без обмена, согласно формуле (1.13), а уменьшается
до нуля на уровне Ферми.
Этот результат находится в очевидном противоречии с экспериментальными
данными. Мы указывали в связи с формулой (1.14), что энергия теплового-
возбуждения электронов
Теория Зоммерфельда Ef (по Зоммеруельду)
Теория /
Хартри- Фока/
Y Ef (по Хартри- Фоку)
Энергия
Фиг. 11.1. Плотность состояний свободного электронного газа (по Реймсу
[e]j.
Верхняя кривая соответствует теории Зоммерфельда. Нижняя кривая отвечает
теории Хартри - Фока в предположении, что обменная энергия задается
выражением (10,7), содержащим зависимость от импульса. В отношении
эксперимента модель Зоммерфельда значительно ближе к реальной ситуации,
чем модель Хартри - Фока.
пропорциональна плотности состояний на уровне Ферми. Если бы плотность
состояний была такой, как изображено на фиг. 11.1, теплоемкость была бы
значительно меньше, чем для газа свободных электронов без обмена.
Последняя модель, однако, приводит к значениям электронной теплоемкости,
которые в общем согласуются с опытом. Отсюда следует, что нельзя описать
экспериментальные данные, представляя полную энергию электронного
возбуждения в кристалле просто в виде суммы одноэлектронных энергий того
типа, который приводит к фиг. 11.1. Необходимо использовать нечто более
похожее на энергетические уровни электронов в обычном периодическом
потенциале, пренебрегая обменом или по меньшей мере пренебрегая
зависимостью обменной поправки от вектора к.
На' объяснение этого парадокса, связанного с теорией свободных электронов
в металле, были затрачены немалые усилия. Ниже мы вернемся к некоторым из
этих попыток. По мнению
§ 3. Одноэлектронные энергии в приближении Хартри - Фока 301
автора этой книги, нам, однако, и не требуется искать какого-нибудь
глубокого и серьезного объяснения. Как только что указывалось, нельзя
ожидать, что энергию возбужденного состояния электронного газа удастся
записать в виде суммы одноэлектронных энергий, вычисленных в приближении
Хартри- Фока. Так, в случае Нб эмпирическое согласие между суммой
одноэлектронных энергий и значением энергии возбужденного состояния
многоэлектронной системы можно получить, только если использовать набор
одноэлектронных энергий, весьма далеких от основного состояния. В
частности, одноэлектронные энергии, использованные в предыдущем
параграфе, относятся к конфигурации электронов, в которой каждое из
состояний энергетической зоны занято одним электроном. В таком случае не
будет разницы в обменных поправках для верхних и нижних уровней
энергетической зоны; все они заполнены в равной мере. Поэтому описанный
выше провал в плотности состояний на уровне Ферми не возникает.
Следовательно, при построении набора одноэлектронных энергий для
последующего использования в статистике Ферми следует избегать того,
чтобы обменный эффект изменялся при переходе от одной части
энергетической зоны к другой. Другими словами, именно зависимость энергии
обмена от к составляет ту черту метода Хартри-Фока, которая делает
одноэлектронные энергии, определяемые по этому методу, не подходящими для
использования в статистике Ферми. Фактически результаты окажутся гораздо
ближе к опыту, если отбросить это кажущееся улучшение, осуществляемое в
рамках метода Хартри-Фока, и использовать простую обменную поправку,
зависящую только от пространственных координат, но не от к1).
В этом, вероятно, и кроется объяснение значительного успеха, достигнутого
при использовании либо уравнения Шре-дингера, в котором обменная поправка
Хартри-Фока заменяется ее взвешенным средним значением, либо еще более
простого приближения, в котором поправка зависит только от корня
кубического из плотности электронов. Последний метод (см. [5]) сводится к
использованию среднего обменного потенциала (10.7) с заменой функции
F(т)) ее средним значением 3Ц. Это упрощенное уравнение Хартри-Фока было
