Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
568
КОЛЕБАНИЯ II ВОЛНЫ
ІГЛ. X
9. Резонансная кривая, приведенная на рис. 301 и представляемая формулой (127.9), называется амплитудной резонансной кривой. Обратимся теперь к рассмотрению фазовой резонансной кривой (127.10). Она определяет угол б, на который отстает по фазе смещение (заряд) q относительно внешней силы X. Зависимость б от со изображена на рис. 303. Если со 0, то б 0: при низких частотах q и X колеблются в одинаковых фазах. При со ->- оо сдвиг фаз б стремится к л — колебания совершаются в противоположных фазах. При резонансе tg б = оо, б = я/2. Если у-+0, то фазовая резонансная кривая претерпевает разрыв непрерывности при о> = со0 и переходит в ломаную ОАВС: при со < ю0
Рис. 303. Рис. 304.
фазы колебаний q и X одинаковы, а при а > со0 — противоположны. Ломаная ОАВС представляет предельное положение, к которому стремятся резонансные кривые при у —* 0.
Следующая механическая иллюстрация помогает уяснить фазовые соотношения при вынужденных колебаниях. Возьмем рукой маятник за точку О (рис. 304, а) и будем медленно двигать эту точку туда и обратно. Возникнут вынужденные колебания, как если бы маятник стал длиннее и был закреплен в неподвижной точке подвеса О'. В этом случае колебания руки (внешней силы) совершаются с частотой, меньшей собственной частоты ш0 маятника. Направления движения руки и шарика маятника все время совпадают, их колебания происходят в одинаковых фазах. Не то будет, когда точка О колеблется с частотой, превышающей собственную частоту колебаний маятника. Теперь маятник колеблется так, как если бы его точка подвеса была неподвижна и смещена вниз относительно точки О: точка О и шарик маятника движутся противоположно, т. е. колеблются в противоположных фазах (рис. 304, б).
§ т
ТЕОРЕМА ФУРЬЕ
569
§ 128. Вынужденные колебания под действием несинусоидальной силы. Теорема Фурье
1. Вынужденные колебания под действием несинусондальной силы можно исследовать с помощью математической теоремы Фурье (1768—1830). Согласно этой теореме всякая периодическая функция достаточно общего вида может быть разложена в ряд Фурье, т. е. представлена в виде суммы конечного или бесконечного числа синусоидальных функций. Мы не будем доказывать эту теорему, но приведем выражение для коэффициентов ряда Фурье.
Периодической функцией f (() называется всякая функция, при любом t удовлетворяющая условию /(/) = /(/ + Т), где Т — положительная постоянная, пе равная нулю. Она называется периодом функции /. Если Т — период, то, очевидно, 2Т, 37\... также будут периодами. Действительно, / (/ + 2Т) = / (/ + Т + Т) = — f (t + Т) = / (t). Среди всех этих периодов можно указать наименьший, который называется основным периодом, а частота Q = 2ЛІТ — основной частотой. В дальнейшем под Т и Q мы будем понимать основной период и основную частоту. Теорема Фурье утверждает, что всякую периодическую функцию с основным периодом Т можно представить в виде суперпозиции синусоид с периодами Т, ТІ2, ТІ3, ... или с частотами cofc = Ш, где k — 0, 1, 2, ... Запишем этот ряд Фурье в комплексной форме:
СО
/(/)= 2 o/'V, (128.1)
fe = 0
подразумевая, что функция / (t) равна вещественной части ряда, стоящего справа. Для вычисления коэффициентов с* умножим обе части соотношения (128.1) на e“‘°W и проинтегрируем от 0 до Т. Получим
Т со Т
5 / (о е~ dt = 2 с, \ і <я*~ мт.)' dt.
о *=о о
В силу периодичности показательной функции
gi('V-<nm)r = gi (h-m) TQ _ е2я(к-т)1 _ j
О '
Отсюда следует, что интеграл в правой части равен пулю, если к Ф т. Если же k = т, то этот интеграл равен Т. Таким образом,
г
с,п = Y Ц f V) e~:a>mt dt. (128.2)
b
По этой формуле її можно вычислить коэффициенты ряда фурье с,„. Интегрирование не обязательно проводить в пределах от 0 до Т.
570
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ПЛ. X
Можно взять любые пределы, лишь бы длина промежутка интегрирования была равна Т.
2. Применение теоремы Фурье к задаче о вынужденных колебаниях производится по следующей схеме. Если внешняя «сила» X (0, действующая на затухающий осциллятор, периодична, то ее следует разложить в ряд Фурье и решить задачу о вынужденных колебаниях для каждого члена этого ряда в отдельности. Тогда сумма таких решений и даст решение задачи о вынужденных колебаниях осциллятора под действием силы X.
Рассмотрим, например, с изложенной точки зрения явление резонанса под действием периодической силы, имеющей характер
толчков (рис. 305). Пусть Т —¦ основной период, через который толчки следуют друг за другом. В разложении силы X (/) будут содержаться синусоидальные чле-_ ны (гармоники) с периодами Т,
і 772, 773, ..., Т/пг, ... Резонанс
на т-й гармонике получится при условии Т/т = Т0, или Т = тТ0, где Т0 — собственный период колебательного контура. Отсюда видно, что резонанс возникает, когда толчки следуют друг за другом не только через время Т0, но и через время 270, 3Т0, ..., т. е. вдвое реже, втрое реже и т. д. Этот результат понятен из простых физических соображений.
3. Для всего изложенного не имеет значения, что сила X (t) является периодической функцией. Существенно только, что она представляется суммой синусоидальных членов. Допустим, например,
