Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4 = + ^v/<Clcos ^sin • 0 ¦27-6)
Добавленное слагаемое описывает свободные колебания осциллятор а.
Выбором произвольных постоянных С2 и С2 можно удовлетворить любым начальным условиям. Однако, каковы бы ни были эти условия, свободные колебания всегда экспоненциально затухают, причем за время х = 1/у амплитуда свободных колебаний убывает в е раз. Процесс затухания свободных колебаний называется установлением колебаний, а время х — временем затухания или временем установления. Если х, то свободные колебания практически совсем затухнут. Останутся одни только вынужденные
§ 127]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
563
колебания, совершенно не зависящие от начальных условий. Исследованием таких колебаний мы прежде всего и займемся.
3. Конечно, решение (127.5) лишь символически представляет вынужденное колебание. В нем должна быть оставлена только вещественная часть. Для нахождения последней введем обозначение
со5 — со2 + 2/соу = ре1'8,
х
где р и б — величины вещественные. Тогда q = ~еі(-ш~ в вещественной форме
<7 = a cos (сat — 6).
(127.7)
•б)
или
(127.8)
Величины риб найдем, приравнивая вещественные и мнимые части в соотношении (127.7). Таким путем получаем
со|5 — со2 = р cos б, 2ft>Y = psin6,
откуда
а
tg 6
K((05-(u2)2 + 4(d2y2’
2щ'
(127.9)
(127.10)
Таким образом, вынужденное колебание будет гармоническим, амплитуда и фаза которого определяются формулами (127.9) и (127.10).
Формулы (127.9) и (127.10) можно получить также с помощью векторной диаграммы. Это будет сделано в § 129 на примере переменных токов, где соотношения совершенно аналогичны.
4. Исследуем сначала поведение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты со. Электрические и механические колебания будем рассматривать совместно, называя величину q либо зарядом конденсатора, либо смещением колеблющегося тела из положения равновесия. Оставляя амплитуду силы Х0 неизменной, будем менять ее частоту со. При со = 0 получаем статическое отклонение под действием постоянной силы Х0: а0 = Х0!щ. При возрастании частоты со амплитуда смещения а сначала также возрастает, затем проходит через максимум и, наконец, асимптотически стремится к нулю (рис. 301). Приравнивая нулю производную da/da, убеждаемся, что амплитуда смещения (заряда) а достигает максимума при со = у о»о — 2уг. Максимумы амплитуды скорости (тока) сна и амплитуды ускорения (напряжения Lij) соia достигаются соответственно при со = со0 и со = щ/J/ co„ — у-.
Цй)0иА, Рис. 301.
5G4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ЇГЛ. X
Найдем еще частоту, при которой максимальна средняя мощность, развиваемая силой X. Мощность выражается произведением силы X на скорость q, т. е. равна Р = Xq. Так как произведение гармонически колеблющихся величин X п q — нелинейная операция, то надо пользоваться вещественной формой представления колебаний, т. е. формулами (127.2) и (127.8). Из них получаем
Р — — ыаХо cos сof sin (cot — 6) = [sin 5 — sin (2cot — 6)].
Второе слагаемое в квадратных скобках синусоидально меняется во времени с частотой 2со. Его среднее значение по времени равно нулю. На величину средней мощности оно не влияет. Последняя определяется только первым слагаемьш и равна V2Xo®a sin 6. Она достигает максимума при той же частоте, что и амплитуда скорости (оа, т. е. при частоте со = соо.
В наиболее важном случае, когда затухание невелико, положения всех максимумов почти не отличаются друг от друга. Поэтому за максимум амплитуды смещения можно принять ее значение при со — соо, т. е.
= <127Л1>
Отношение максимального значения амплитуды аЯЯ1!с к статическому отклонению ао называется добротностью осциллятора или колебательного контура. Обозначая добротность через Q, имеем
<]2712>
где d — логарифмический декремент.
Кривая, изображающая зависимость амплитуды колебаний а от частоты внешней возбуждающей силы со, называется резонансной кривой (см. рис. 301). Одной из характеристик резонансной кривой может служить значение амплитуды в максимуме амгтс. Другой важной характеристикой является ширина резонансной кривой. Пусть сох п со2 — значения частоты со, при которых энергия колебаний вдвое меньше энергии в максимуме. Тогда , ,
(сої — ®о)2 = 4cojY2, (col — со,])2 = 4соуу2.
Если 1 <»! — соо | <-ц о)0, I со., — со0 I «ц о)о, то отсюда получаем приближенно
Дсо = соа — сої = 2у = (Oo/Q. (-1271ІЗ)
Величина Дсо и называется шириной (или полушириной) резонансной кривой. Мы видим, что чем больше добротность осциллятора, тем уже резонансная кривая. Далее, из формул (127.11)
§ 127]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
565
и (127.13) получаем
Асо-амакс = (ойо0. (127.14)
Чем больше максимум резонансной кривой, тем он острее, т. е. тем уже резонансная кривая.
5. Итак, наиболее интенсивные колебания будут наблюдаться при частоте со = со0. Явление возбуждения сильных колебаний при частоте внешней возбуждающей силы, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. Физическая причина этого явления предельно проста. Ее лучше всего пояснить не на примере синусоидально меняющейся силы, а на примере силы, состоящей из одинаковых кратковременных толчков, следующих друг за другом через одинаковые промежутки времени. Между двумя последовательными толчками система движется свободно. При каждом толчке скорость q скачкообразно получает приращение Ду. Если толчки следуют друг за другом через промежутки времени, равные периоду собственных колебаний системы, то каждый новый толчок вызывает приращение скорости того же знака и величины, что и предыдущий толчок: толчки усиливают друг друга. В этом случае энергия, вкладываемая в систему, максимальна. Амплитуда колебаний будет нарастать до тех пор, пока возросшие силы трения в среднем за период колебаний не компенсируют действие каждого нового толчка. Тогда установятся наиболее интенсивные колебания, характеризующиеся максимумом амплитуды скорости и максимальной энергией. Это и есть резонанс. Синусоидально меняющаяся сила также может рассматриваться как последовательность одинаковых толчков. Только теперь толчки не мгновенные, а длительные и непрерывно примыкают друг к другу. Но это обстоятельство в приведенном объяснении не играет принципиальной роли. Естественно, что в случае толчков конечной длительности появляется зависимость формы резонансной кривой от формы толчка. Толчки синусоидальной формы характеризуются тем, что для них на резонансной кривой имеется только один максимум при со = со0. Для толчков другой формы может быть и не так. Например, в разобранном выше случае последовательности мгновенных толчков максимум амплитуды появляется не только при основной частоте со = со0, но и при меньших частотах со0/2, со0/3, ... При таких частотах толчки следуют один за другим реже. Однако они по-прежнему усиливают друг друга, а это" есть основное условие резонанса. На резонансной кривой появляются новые максимумы, хотя и менее интенсивные, чем максимум при основной частоте.
