Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 3. Электричество" -> 239

Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 3. Электричество — М.: Наука , 1996. — 704 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit31996.pdf
Предыдущая << 1 .. 233 234 235 236 237 238 < 239 > 240 241 242 243 244 245 .. 280 >> Следующая

Р = (131Л)
Поскольку операция умножения нелинейна, пользоваться комплексными выражениями так, как это делалось до сих пор, нельзя. Надо перейти к вещественной форме, т. е, в случае синусоидальных токов положить
? = ?0cosco/, = cos (at — б). (131.2)
Но обычно проще проводить вычисления в комплексной форме, применяя следующий прием. Обозначим через ё* и величины, комплексно сопряженные с Ш и 3. Тогда
I} е 1 -L ? * і. Ро 3 = 1 /., (-7 JL. оГ*У,
582 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. X
Подставляя эти вещественные величины в формулу (131.1), получим Р = 1/4(^*+?*^) + 1/4(?^ + ?*^*). (131.3)
Здесь уже можно положить Ш — Ш0еш, е7 = и восполь-
зоваться формулой cos а = V2 (eia + e~ia). В результате получится
Р = 1/а^о^о COSfi + Va^o^o cos (2соt — б).
Это выражение, конечно, легко получить и без использования комплексных выражений. Второе слагаемое в последней формуле быстро колеблется во времени с удвоенной частотой 2 со. Среднее значение его по времени равно нулю. Первое слагаемое от времени не зависит и дает среднюю мощность переменного тока:
Р = VA^oCOsfi. (131.4)
Величины Ш0 и <з70 называются амплитудными значениями напряжения и тока. Вместо них в электротехнике чаще употребляют эффективные значения, определяемые выражениями
т т
?|фф = \\&dt, (131.5)
о о
Для синусоидальных токов
*.ФФ = *о/К2", ^9фф = ^о/V2. (131.6)
С введением этих величин формула для средней мощности переменного тока принимает вид
р = іЛфС05б. (131.7)
2. Аналогичным образом разность фаз б сказывается на взаимодействии переменных токов. Рассмотрим, например, переменные токи и с^г, текущие вдоль бесконечно длинных прямолинейных проводов, находящихся на расстоянии г друг от друга. Мгновенная сила, действующая на единицу длины каждого провода, определяется выражением
г 2а7ів?г
сг
ц.
(Здесь применяется гауссова система единиц.) Если токи и синусоидальны, а сдвиг фаз между ними равен б, то для средней силы отсюда находим
F — ~г вФФ^а вфф cos б. (131.8)
В зависимости от разности фаз б средняя сила F может быть либо силой притяжения, либо силой отталкивания. Если 6 — п/2, то F = 0.
§ 132]
ПРОЦЕССЫ УСТАНОВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИИ
583
Примером может служить опыт Элиу Томсона, описанный в § 65. Если s7 — ток в обмотке электромагнита, то магнитный поток, пронизывающий алюминиевое кольцо, будет Ф = Li2#. Допустим, что S = аТ'ое'®'. Тогда электродвижущая сила индукции в кольце ^1ШД = —сіФ/dt = —гсо^зТ', а ток
ef, iu>Liv?7
& R + iaL '
Здесь L — индуктивность, a R — омическое сопротивление кольца. Если R пренебрежимо мало по сравнению с индуктивным сопротивлением coL, то
Так как коэффициенты L12 и L положительны, то фазы токов & и а7* противоположны: б = я. Средняя сила взаимодействия кольца и электромагнита будет отталкивательной.
§ 132. Процессы установления колебаний
В общем случае колебания под действием внешней силы слагаются из вынужденных и свободных (см. § 127). Собственные колебания затухают, если время t, прошедшее с момента начала действия силы, велико по сравнению с временем затухания т = = 1/у. Исследуем теперь этот вопрос более подробно. Для простоты проведем вычисления в предположении, что коэффициент затухания у равен нулю. Понятно, что в этом случае процесс установления колебаний никогда не закончится, так как х = 1/у = оо. Однако, получив решение для у = 0, легко понять качественно, что будет при У фО.
Предположим, что на гармонический осциллятор в момент времени t = 0 начинает действовать периодическая «сила» f => = /о cos lot. Тогда при колебания будут описываться урав-
нением
X + ЩХ — fo COS СОt.
Если (О ф Сйо, то общее решение этого уравнения имеет вид х = cos o)f + a cos (Do/ + b sin о0/.
Постоянные а и b определяются начальными условиями. Допустим, что в начальный момент t = 0 координата х и скорость % равны нулю. Чтобы удовлетворить первому условию, необходимо положить а = —/о/(о)о — о)2). После этого второе условие будет удовлетворено, если b = 0. Решение, удовлетворяющее обоим
584
КОЛЕБАНИЯ И ЕОЛНЫ
ІГЛ. X
условиям, запишется в виде

(cos tot — cos со0/).
(132.1)
Получилась суперпозиция двух гармонических колебаний: собственного с частотой о)0 и вынужденного с частотой ох С суперпозицией гармонических колебаний разных частот приходится встречаться в самых разнообразных явлениях. Примером могут служить два звучащих камертона с разными собственными частотами. Особое значение имеет случай, когда частоты ю и ю0 отличаются друг от друга мало. В этом случае выражение (132.1) целесообразно преобразовать к виду
х — А (/) sinffif, (132.2)
где
±2/0
A(t).
¦ sin wj,
(132.3)
(132.4)
0);j.—0)
iO = V2(a) + (0o), о)м = 1/2! со — ©о!
Колебание, представляемое выражением (132.2), есть амп.ишгудно-модулированное колебание с несущей частотой, равной ссредней
Рис. 314.
частоте» to, и «частотой модуляции» юм. Общий вид его представлен на рис. 314. В случае гармонических колебаний воздуха, возбуждаемых двумя камертонами, ухо обычно воспринимает результирующее колебание как гармоническое колебание с «переменной амплитудой» (см. §, 126), Ухо слышит музыкальный тон, интенсивность которого периодически меняется с периодом Тб = л/сом и частотой ©6 = 2п/Т6 = 2©м = | © — ю0 I- ^го явление называется биениями, а величины Тб и ©б — периодом и частотой биений соответственно. То обстоятельство, что ухо воспринимает биения как музыкальный тон периодически меняющейся громкости, связано, конечно, с тем, что ухо как колебательная система обладает относительно малой добротностью; время установления колебаний этой системы мало по сравнению с периодом биений Т6.
Предыдущая << 1 .. 233 234 235 236 237 238 < 239 > 240 241 242 243 244 245 .. 280 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed