Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 3. Электричество" -> 235

Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 3. Электричество — М.: Наука , 1996. — 704 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit31996.pdf
Предыдущая << 1 .. 229 230 231 232 233 234 < 235 > 236 237 238 239 240 241 .. 280 >> Следующая

Рис. 305.
что
X (/) = A (/) cos соt,
(128.3)
где функция А (/) медленно меняется во времени (по сравнению с «быстро меняющейся» величиной cos со/). Про колебание (128.3) говорят, что оно модулировано по амплитуде. Простейшей является синусоидальная модуляция, когда
А (/) = А0 (1 -j-acos Qt)
(128.4)
с постоянными А0, a, Q. Величину со называют несущей частотой, a — глубиной, а Q — частотой модуляции. В этом случае
X = А0 cos со/ -f — [cos (ш + О) / + cos (со — Q) /], (128.5)
т. е. синусоидально модулированное колебание эквивалентно суперпозиции трех синусоидальных колебаний с частотами со, со + І1, со — Q. Йели эти частоты соизмеримы, то сила X периодична.
§ 128}
ТЕОРЕМА ФУРЬЕ
571
Если же они несоизмеримы, то она не периодична. Хорошей иллюстрацией может служить следующий акустический опыт. Два одинаковых камертона устанавливаются возле друг друга на резонансных ящиках (рис. 302). Мы видели (см. стр. 566), что если возбудить один камертон, то начинает звучать и другой (резонанс). Если же на ножку второго камертона надеть небольшой грузик, то он вызовет «расстройку», и второй камертон перестанет «отзываться» на колебания первого. Введем теперь между камертонами диск с отверстием и приведем его во вращение. Когда вращающееся отверстие проходит мимо отверстий резонансных ящиков, звук, воздействующий на второй камертон, усиливается, звуковая волна становится модулированной по амплитуде. Меняя частоту вращения диска, можно подобрать ее такой, чтобы второй камертон снова начал звучать, когда колеблется первый.
Модулированное колебание (128.3) часто называют гармоническим или синусоидальным колебанием с переменной амплитудой. С формально логической точки зрения такой термин внутренне противоречив, так как по самому определению амплитуда А и частота синусоиды (о — величины постоянные. Однако в некоторых случаях этот термин может быть оправдан. Все зависит от того, на какую систему (приемник) воздействует модулированная сила
(128.3). Если приемник остронастроенный (т. е. его коэффициент затухания у мал), то он будет отвечать практически на одну частоту, совпадающую с его собственной частотой со0. С помощью такого приемника из суперпозиции (128.5) можно выделить одновременно только колебания с частотой либо со, либо со + Q, либо и — Q. В этом случае недопустимо функцию (128.3) отождествлять с одной синусоидой, а следует рассматривать ее как суперпозицию (128.5) трех синусоид с различными частотами. Положение меняется, когда приемник не остронастроенный. Такой приемник воспринимает одновременно все три колебания с частотами
и, оз + Q, (о — Q, и притом практически с одним и тем же усилением. В результате суперпозиции таких колебаний в приемнике возникает вынужденное колебание ^ А (t) cos оз/. Явление протекает так, как если бы на приемник действовала синусоидальная сила, амплитуда которой A (t) медленно менялась во времени. То же самое можно сказать и про частотную модуляцию, когда медленно меняется не амплитуда А, а частота колебания со. Все это справедливо только тогда, когда время установления колебаний приемника т = 1/у мало по сравнению с временем, в течение которого заметно меняются амплитуда и фаза действующей силы. За время т вынужденные колебания в приемнике успевают установиться, тогда как А и со практически остаются постоянными. Поэтому в течение времени установления т сила X = = А (0 cos 1 о) (t) t\ и вызывает такой же эффект, как если бы она оставалась чисто синусоидальной с постоянными А (t) и со (t).
572
КОЛЕБАНИЯ II ВОЛНЫ
[ГЛ. X
4. Допустим теперь, что сила X (!) непериодична, но воздействует на колебательную систему б течение конечного времени, например изображается функцией, показанной на рис. 306 сплошной линией. Этот случай сводится к случаю периодической силы. Для этого возьмем промежуток времени Т, очень большой по сравнению с временем затухания свободных колебаний системы, и «периодически продолжим» X (/), чтобы получилась периодическая функция с периодом Т, как это изображено на рис. 306. Поскольку время Т ничем ие ограничено, его можно выбрать настолько
•! ¦і Г’
-'ііїМі ^
V «і *1 И V
1 Л
\! !
И
Рнг. 306.
большим, чтобы замена исходной функции ее периодическим продолжением практически не отразилась на поведении колебательной системы в течение интересующего нас времени. А если выполнить предельный переход 7’-> оо, то вспомогательная величина Т вообще выпадет из результата, а самый результат сделается вполне точным. Разлагая периодически продолженную функцию в ряд Фурье и полагая Q = 2лIT, пишем
СО
х (0 = 2 м1па‘,
п~ 0
где
+ т/2
с„ = ± $ X (t) е~іпй‘.
— V/2
Для выполнения предельного перехода введем новые обозначения: « — nQ, Ды — Q. Тогда
X (0 = ^-о-еШ
Поскольку при Т -*¦ оо величины Д(о стремятся к нулю, защшм сумму интегралом:
СО
X(t) = l a(<x>)ei:)'d(o, (128.6)
О
где
. ГО
а (м) = Пт ^ X (/) e~mt dt.
§ 129]
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
573
ІІЛІІ
4- со
('') ¦ 5 X (0 е~ш dt. (128.7)
— со
Формула (128.6) называется интегралом Фурье. Она представляет функцию X (У) в виде суперпозиции непрерывного множества синусоидальных колебаний, частоты которых непрерывно заполняют определенный интервал. При этом подразумевается, что от правой части формулы (128.6) следует брать лишь вещественную часть. Разумеется, приведенные рассуждения не могут служить строгим доказательством формулы (128.6). Они устанавливают только связь между рядом и интегралом Фурье. Строгое доказательство дается в теории интеграла Фурье.
Предыдущая << 1 .. 229 230 231 232 233 234 < 235 > 236 237 238 239 240 241 .. 280 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed