Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
В действительности собственные колебания затухают. Результирующее колебание представляется суперпозицией незатухающей н затухающей синусоид. Когда собственные колебания затухнут, останется только колебание, представляемое незатухающей синусоидой, т. е. процесс установления колебаний закончится. В зависимости от величины коэффициента затухания у характер установления колебаний может быть разным, как это видно из рис. 315.
S 1321
ПРОЦЕССЫ УСТАНОВЛЕННЯ КОЛЕБАНИЯ
585
Рассмотрим теперь случай, когда со = ю0 (резонанс). В этом случае выражение (132.1) принимает неопределенный вид х = = 0/0. Неопределенность можно раскрыть, перейдя к пределу
ю -v (0ц. Дифференцируя по to, с помощью известного правила Лошггаля находим
COS (0/ — COS О),/ ,. __ — t sin (lit t
T=^~'=='2^'SinC0«/-
lim
Ю
0),i —0)
lim -
CO —* іОц
Следовательно,
* = -|^-sin(ty. (132.5)
На это выражение можно смотреть как на колебание с частотой со0, амплитуда которого А (/) --- f0t/(2a0) линейно растет во времени. Если бы не было трения и других тормозящих сил, то процесс нарастания амплитуды колебаний никогда не закончился бы (рис. 316). В действительности тормозящие силы всегда есть. Пока колебания малы, они не играют большой роли. Но по мере нарастания амплитуды колебаний роль тормозящих сил становится все более и более существенной. Они в конце концов приостанавливают дальнейший рост амплитуды колебаний, и последние переходят в колебания постоянной амплитуды.
ЗАДАЧИ
1, При рассмотрении ксазистационарных процессов е колебательном контуре пренебрегают магнитной энергией, локализованной в катушке самоиндукции. На примере следующей задачи (и задачи 2) убедиться в допустимости такого приближения. Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков радиуса R.
586
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
Толщина конденсатора d. Пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями є и и. Конденсатор включен в цепь переменного тока g7 = s70cos Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить электрическую и магнитную энергии, локализованные d конденсаторе. Найти отношение максимальной магнитной к максимальной электрической энергии. Провести численный расчет для R = 10 см и частоты v = 100 Гц, є=(і = 1.
Решение. Электрическая энергия (в гауссовой системе)
Магнитное поле внутри конденсатора создается током смещения. На расстоянии г от оси конденсатора оно найдется из соотношения
откуда
Н = —бг<?г =-^-^ocos (Jit. cR* cRs
Магнитная энергия, локализованная в конденсаторе:
^т==~8зГ S cos» erf.
Отношение максимальных энергий:
^=^№^05-10-^мако 2 \ 2с ) ’ '
2. Пространство внутри длинного соленоида, состоящего из N витков проволоки, заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью 8 и магнитной проницаемостью ц. Длина соленоида равна 1, радиус R. По обмотке соленоида течет переменный ток <?/ = е70 cos ш/. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить магнитную и электрическую энергии, локализованные внутри соленоида, и найти отношение максимальных значений этих энергий. Провести численный расчет для ^ = 5 см, є = fi = 1 и частоты v = 100 Гц.
Ответ.
__ 2.-i2nR-V2 „ , ,
=------2}---a7ocos2co/,
en2.4-(i>~R4i\'2
1Ж
W*aKa ... / „о \2
¦- <?7\ sin~ <Dtt
1.3-10-4.
даиако 2 I 2C j w m
3. Прямой однослойный соленоид с индуктивностью L совершает вынужден-ные крутильные гармонические колебания вокруг своей оси: ф =
= фо cos соt. Соленоид гибкими проводами подсоединен к конденсатору емкости С (опыт Мандельштама и Папалекси). Найти напряжение на конденсаторе при резонансе, когда частота со равна собственной частоте колебательного контура o)0= 1/j/z.C . Радиус соленоида а, длина проволоки, из которой он изготовлен,
I, сопротивление соленоида R (см. § 97).
Ответ. V = — ф0 sin a>t, где т — масса, е — заряд электрона.
§ 132]
ПРОЦЕССЫ УСТАНОВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИИ
5S7
4. В § 78 был описан опыт Эйнштейна и де Гааза, в котором для определения гиромагнитного отношения атомов было использовано явление резонанса. Предполагая, что магнитное поле, в котором совершаются крутильные колебания железного цилиндрика, очень сильное, так что цилиндрик почти всегда намагничен до насыщения, а при прохождении магнитного поля через нуль перемагничнванне происходит практически мгновенно, определить амплитуду % установившихся крутильных колебаний цилиндрика при резонансе.
Решение. Уравнение вынужденных крутильных колебаний цилиндрика аапнсывается в виде (78.2). Во время перемагничивания можно пренебречь всеми вращающими моментами, действующими иа цилиндрик, за исключением момента —VI/вГ. За это время цилиндрик не успеет повернуться на заметный угол, но его угловая скорость получит приращение
V Г - V
Афо= Цр J I dt = — 2-щт Iнас-
Получив такую начальную угловую скорость, цилиндрик начнет совершать свободные затухающие колебания
_ _Афо g-yt sjn a)i т 0)
Через половину периода амплитуда колебаний уменьшится в evT^2 раз. Нов это время произойдет новое перемагничиванне, в результате которого амплитуда угловой скорости получит новое приращение Дф0. Новая амплитуда отклонения станет
