Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
d = In * = уТ
(124.10)
называется логарифмическим декрементом колебания. Он связан с числом колебаний N соотношением
N =
1
d‘
Величина
Q = nN = -
(124.11)
(124.12)
называется добротностью колебательного контура. Физический смысл этой величины будет установлен ниже (см. § 127).
Постоянные интегрирования а и б определяются начальными условиями. Допустим, например, что в начальный момент q = 0, q — г/о, где д0 — известная постоянная. Полагая в выражении
(124.5) t — 0, получим cos б == 0, н, следовательно, б = ± у -f- 2/гя,
§ 124]
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
555
q — ± аё~^ sin со/. Без потери общности двойной знак можно опустить и написать
q = ae~yt sin at,
так как постоянную интегрирования можно обозначить и через +а, и через —а. Отсюда
q = (со cos to/ — у sin соt) ае~^‘.
Подставляя сюда t = 0, получим д0 — ом,
q — sin со/.
О)
(124.13)
Случай 2. ©о — у2 = 0. Это — предельный случай предыдущего, когда период Т обращается в бесконечность. Уравнение (124.3) переходит в | = 0, и, следовательно,
q=(a + bt)e~v. (124.14)
В зависимости от значений постоянных интегрирования а и b величина q будет или не будет проходить через максимум (один
раз). На рис.’297 изображены два случая: 1) а Ф 0, Ь = 0 и 2) а — 0, Ь Ф 0. При любых а и b величина q асимптотически приближается
к нулю, когда /-> оо. Процесс не будет колебательным. Он назы-
вается апериодическим.
Если в начальный момент q0 = 0, то а — 0,
q — bte~yt, q = (1 — yt) be-''1.
Полагая t = 0, находим b = q0. Следовательно,
q = q0te-v. (124.15)
Случай 3. cog — у2 < 0. Общее решение уравнения (124.3) будет _____ ______і
t = с1е-Уу,~а о Ч с2е+У
а уравнения (124.1)
q = C1e-<x't-{-C2e~a^.
(124.16)
556
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
Через с'і и щ обозначены положительные постоянные:
«i = Y + l/ У' — a2 = V — T/"y2 — cog. (124.17)
Если в начальный момент q0 = О, ц = д0, то
§ 125. Баллистический гальванометр
Баллистический гальванометр предназначен для измерения количества электричества, проходящего через цепь при кратковременных импульсах тока. Подвижной частью прибора является прямоугольная рамка с обмоткой из тонкой изолированной про-еолоки, подвешенная на нити между полюсами магнита, где она
период собственных колебаний ее был не меньше 10 секунд. При колебаниях в обмотке рамки возбуждается индукционный ток, тормозящий движение последней. Тормозящий момент должен быть пропорционален угловой скорости ф. Для достижения этого полюсным наконечникам придают такую форму, чтобы они оканчивались цилиндрическими поверхностями, а между самими полюсами помещают цилиндр из мягкого железа (рис. 298, вид сверху, рамка не показана). При таком устройстве магнитные силовые линии в зазоре между полюсами магнита и цилиндром, где совершаются крутильные колебания рамки, практически радиальны. Вертикальные стороны рамки пересекают магнитные силовые лишім, оставаясь все время перпендикулярными к ним. Вследствие этого возникающая электродвижущая сила и обусловленный ею тормозящий момент оказываются пропорциональными угловой скорости ср. Тормозящий момент, обусловленный сопротивлением воздуха, также пропорционален ф. Поэтому крутильные колебания рамки гальванометра будут описываться дифференциальным уравнением того же типа, что и затухающие колебания, рассмотренные в предыдущем параграфе.
Допустим, что через гальванометр проходит кратковременный импульс тока а7, длительность которого т много меньше периода собственных колебаний рамки Т. Во время прохождения такого импульса можно пренебречь всеми силами, за исключением ампе-ровых сил, действующих на рамку со стороны внешнего магнпт-
Рис. 298.
может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. Возвращающий момент, стремящийся вернуть рамку в положение равновесия, создается закрученной нитью и пропорционален угловому отклонению ф. Момент инерции рамки © выбирают большим, чтобы
§ 126]
КОМПЛЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
557
ного поля. Эта силы создают вращающий момент, пропорциональный току е7, так что уравнение движения рамки может быть записано в виде 0ф = кЗ, где k — постоянная. Интегрируя по времени прохождения импульса, найдем угловую скорость рамки, которую она приобретет за это время;
Фо = ~0 J 3dt = ^q,
где q — количество прошедшего электричества. За то же время массивная рамка не успеет заметно сместиться. Импульс тока действует на рамку аналогично удару молотка по массивному шару. Пренебрегая временем т, движение рамки гальванометра можно рассматривать как свободное затухающее колебание при начальных условиях <р0 = 0, ф0 = kq!%. Такая задача была решена в предыдущем параграфе. Было показано, что амплитуда, а с ней и максимальное отклонение фмакс (отброс гальванометра) пропорциональны ф0, независимо от того, будет ли режим колебательным или апериодическим. Таким образом, отброс гальванометра связан с количеством прошедшего электричества соотношением
Ц — ?фмакс> (125.1)
где В — постоянная, называемая баллистической постоянной гальванометра. Она измеряется экспериментально. Для этого достаточно разрядить через гальванометр конденсатор известной емкости, заряженный до определенного потенциала, и измерить отброс гальванометра. После такой градуировки формулой (125.1) можно пользоваться для количественных измерений.
