Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§е,<и=-?.
Для доказательства выделим в разветвленной сети какой-либо замкнутый контур, например контур, изображенный на рис. 312. Предположим, что выполнено условие квазистационарности. Тогда
130J
ПРАВИЛА КИРХГОФА ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
579
предыдущее уравнение для выделенного контура запишется в виде
do? k
dt
Приложенные напряжения Шк считаются положительными, если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному. Написанное уравнение справедливо и для неустановившихся процессов, причем электродвижущие силы Шк могут меняться во времени как угодно. Допустим теперь, что все электродвижущие силы <&k меняются во времени синусоидально, т. е. в комплексной форме Шк еш. Тогда в случае установившихся процессов заряды qk и токи r=7k = qk будут меняться во времени так же, а предыдущее уравнение перейдет в
к
ИЛИ
шС*
У Ш.
к
k 9
Л*
(130.1)
а это и есть второе правило Кирхгофа.
2. Все результаты, полученные формальным применением правил
Кирхгофа к постоянным токам, в комплексной форме сохраняют силу и для установившихся синусоидальных токов. В частности, при параллельном соединении нескольких комплексных сопротивлений результирующее комплексное сопротивление определяется формулой
<1Ж2>
Рассмотрим частный случай, когда соединены параллельно катушка самоиндукции и конденсатор (рис. 313). По первому правилу Кирхгофа
3 -|-а72 = а7х.
По второму правилу
Исключим из этих уравнений, например, ток о?г. Получим
($r = <y1(l — (o*LC),
или
(130.3)
580
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГГЛ. X
Если со = «о, то <?7 = 0, и, следовательно, с7, — <?Гг. Токи <Зх\\<г7г могут быть отличны от нуля. Однако колебания в контуре становятся совершенно независимыми от внешнего тока. Причина всего этого в том, что при о = ®0 (т. е. при coL = 1/((оС)) комплексное сопротивление Z контура обращается в бесконечность, как в этом легко убедиться с помощью формулы (130.2). Контур ведет себя как непроницаемая пробка, через которую внешний ток пройти не может, а в катушке могут совершаться только свободные колебания. Амплитуды этих колебаний легко найти из условия, что напряжение на конденсаторе или на катушке самоиндукции в любой мо-^ мент времени должно равняться внеш-
нему приложенному напряжению Ш. Это
с7
Hh
дает
-7- ^
1— i<oL ’ 3 — i,/(wC) іЧоL
Возникает вопрос, как в колебательном контуре МОГЛИ ПОЯВИТЬСЯ ТОКИ И <^2. если его сопротивление переменному току бесконечно велико. На этот вопрос законы и рис з|з соотношения, которыми мы пользовались,
ответа дать не могут, так как они откосятся только к установившимся состояниям. Последние устанавливаются в результате переходных процессов. Во время переходных процессов ток во внешней цепи не равен нулю, в колебательный контур поступают токи и заряды, идет накопление электромагнитной энергии. Это происходит до тех пор, пока в любой момент времени напряжения на конденсаторе и катушке самоиндукции не уравновесят внешнее приложенное напряжение. Когда это произойдет, дальнейшее поступление новых зарядов и токов в колебательный контур прекратится. Начнут совершаться свободные колебания, как если бы контур был автономной колебательной системой. Однако эта автономия сохраняется только до тех пор, пока внешняя электродвижущая сила Ш = Ш0 cos (at остается неизменной. Если изменить амплитуду ?0, то Ш перестанет уравновешивать напряжения на конденсаторе и катушке самоиндукции. Появится ток во внешней цепи, и начнется новый процесс установления колебаний.
Разумеется, без поступления энергии извне незатухающие колебания возможны только тогда, когда омическое сопротивление контура равно нулю. Учтем теперь омическое сопротивление. Обозначим буквой R омическое сопротивление катушки самоиндукции. Омическим сопротивлением всех остальных проводов прене-
брежем. Тогда
^=«тгаг.
сг or or R — tcoL + ia>"L-aC+iaCR2 ®
& = ---------e.
§ Ш1
ЭФФЕКТИВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЕ II ТОК
581
При резонансе со = <а0 к, следовательно, со С = l/(toL). В этом случае
<2/
П> 'сть сопротивление У? пренебрежимо мало по сравнению с индуктивным сопротивлением соL. Тогда
?.¦» _ гр/х
ш-L- со Q
Следовательно,
е/
= Q.
Чем больше добротность колебательного контура, тем меньше ток # в общей цепи. Таким образом, при со = w0 малым током <3 в колебательном контуре большой добротности можно возбудить и поддерживать большие токи. Это явление называется резонансом токдв. Его можно наблюдать, если в схему рис. 313 ввести амперметры для измерения токов <&, и Вдали от резонанса токи е7, s7u о7„ не очень сильно отличаются по величине. Изменением индуктивности катушки или емкости конденсатора настроим колебательный контур в резонанс. Токи <31 и при этом сделаются почти одинаковыми, а ток 3 — близким к нулю.
§ 131. Эффективные напряжение и ток
1. Сдвиг фаз между током и напряжением влияет на работу и мощность переменного тока. Работа 6Л, совершаемая электродвижущей силой '& за время dt, определяется выражением 6Л = = ’& dq, где dq — заряд, прошедший через поперечное сечение провода за это время. Мгновенная мощность будет
