Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 126. Векторная диаграмма и комплексные обозначения
1. Существует наглядный геометрический способ представления гармонических колебаний, о котором уже говорилось в первом томе. Допустим, что геометрическая точка М равномерно вращается по окружности радиуса г (рис. 299) с угловой скоростью со0. Положение точки на окружности можно задать центральным углом ф между радиусом ОМ и положительным направлением оси X. Он равен ф = &0t + 6, где 6 — значение угла ф в начальной момент t — 0. При вращении точки М ее проекция N на ось X двигается по диаметру АВ туда и обратно, совершая колебания между точками Л и В с периодом Т0 — 2я/со0. Абсцисса точки N
x = acosq> = acos(w0t + ?>), (126.1)
как и сама точка N, совершает незатухающее гармоническое колебание. Этим способом можно представлять гармонические колебания любых величин. Надо только условиться изображать колеблющуюся величину абсциссой точки М, равномерно вращающейся
553
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
по окружности. Вместо абсциссы можно, конечно, брать ординату г/= a sin (co0f + S) = acos[co0f + (fi — yjj, но во избежание недоразумений условимся всюду пользоваться абсциссой.
Для представления затухающих колебаний вместо окружности надо взять логарифмическую спираль, асимптотически приближающуюся к фокусу О (рис. 300). Если точка М движется по спирали с постоянной угловой скоростью со0, приближаясь к фокусу, то ее проекция N на ось X будет совершать затухающее гармоническое колебание.
2. Вместо точки М можно взять радиус-вектор г = ОМ, равномерно вращающийся вокруг начала координат О. Гармонически колеблющаяся величина изобразится проекцией х этого радиуса-вектора на ось X. При этом во многих задачах оказывается удобным математические операции над величиной х заменить соответствующими операциями над самим радиусом-вектором г. Например, если нужно вычислить сумму слагаемых
*i = ахе~^( cos (coj/ + 6])
и
х.г = агегУ-{ cos (со2ґ + 82),
то можно сначала сложить по правилу параллелограмма векторы гх и г2, проекциями которых являются эти слагаемые, а затем спроектировать полученный вектор г = гх + г2 на ось абсцисс. Результат этих операций, очевидно, будет равен х = Ху + х,. Операция проектирования производится в самом конце вычисления. При известном навыке можно совсем отвлечься от проекций, а изображать колеблющуюся величину непосредственно самим вектором г, равномерно вращающимся вокруг своего начала.
КОМПЛЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
559
Его проектирование на ось X подразумевается, но не выполняется фактически. Такой метод называется методом векторных диаграмм. Рис. 299 можно поэтому назвать векторной диаграммой незатухающего, а рис. 300 — затухающего гармонического колебания. Метод векторных диаграмм широко применяется в электротехнике при изучении переменных токов.
3. В физике более широкое распространение получил другой метод, отличающийся от метода векторных диаграмм только по форме. В этом методе колеблющаяся величина представляется комплексным числом. Положение точки на плоскости (рис. 299) можно однозначно задать комплексным числом г = х + iy. Если точка М вращается, то
x = acos (со0/ + б), У — я sin (<а0^ + б).
Поэтому, используя известную формулу Эйлера
е’ф = COS ф-f І sin ф,
величину г можно представить в виде
г =
Вещественная часть этого выражения
Re (z) = a cos (щі -f б) = х
представляет гармонические колебания величины х. Условимся опускать знак взятия вещественной части Re и писать просто
х = (126.2)
Это символическое равенство не следует понимать буквально. Его надо понимать в том смысле, что физическая величина х равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа. Модуль этого комплексного выражения а равен амплитуде колебания, а его аргумент (о0ґ + 6 — фазе. Можно формально упростить запись (126.2). Введем комплексную величину А — ае‘6, называемую комплексной амплитудой колебания. Т огда
х~Ае‘а»*. (126.3)
Комплексность амплитуды А означает, следовательно, что колебание происходит с начальной фазой, отличной от нуля.
Наконец, можно формально рассматривать выражения типа
(126.3) при комплексных значениях величины со0. Для раскрытия физического смысла таких выражений полагаем 0)0=0)! + і ©а-Тогда
х — Ael (Wi + “°2) 1 = ае~ а**е‘ (“»*+6) = ае~ cos (со^ -f б).
530
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
Если С'Ь > 0, то это выражение представляет затухающее гармоническое колебание с круговой частотой o)L и показателем затухания со2. Если «2 < 0, то получится колебание с неограниченно нарастающей амплитудой. Таким образом, если частота комплексна, то это означает, что амплитуда колебания экспоненциально затухаем или нарастает во времени.
Очень важно научиться понимать физический смысл уравнений, записанных в комплексной форме, не переходя к вещественной форме записи. Комплексная форма позволяет часто избежать громоздкости формул и делает сами формулы более общими it легче обозримыми. Особенно широко комплексная форма применяется при изучении распространения волн.
4. Над комплексными величинами можно производить многие математические операции, как если бы эти величины были вещественными. Так можно поступать не всегда. Это можно делать только тогда, когда операции вещественны и линейны. К ним относятся, например, сложение, вычитание, умножение и деление на вещественное число, дифференцирование и интегрирование но вещественной переменной и пр. Вообще, операция L называется линейной, если результат действия ее на величину uLzL -f- a.2z.3 представляется в виде
