Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 3. Электричество" -> 231

Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 3. Электричество — М.: Наука , 1996. — 704 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit31996.pdf
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 280 >> Следующая

L (aLzL-\-a2Zo) = axL (zj) -\-аХ (г2), (126.4)
где н г.г — какие угодно (вообще говоря, комплексные) величины, а ах и а2 — любые постоянные. При этом в физике нас, в конце концов, интересуют лишь вещественные операции, т. е. такие, результаты действия которых на вещественные величины сами вещественны.
Комплексные выражения сами по себе не соответствуют никаким физическим величинам. Последние всегда вещественны и только из соображений удобства иногда представляются вещественными частями комплексных выражений. И математические операции в физике должны, в конце концов, определяться как операции над вещественными физическими величинами. Допустим, однако, что над вещественной величиной х надо выполнить линейную веще-стзенную операцию L. Результат будет L (х). Но тот же результат можно получить иначе. Возьмем комплексную величину х и применим к ней операцию L. Получим .
L(x + iy) = L(x) + iL(tj).
Отбросив мнимую часть, снова найдем L (х). Если вычисление по второму методу окажется проще, то его применение оправдало.
Например, вместо того, чтобы дифференцировать по t функцию л- = a cos (io0t -г 6), можно продифференцировать по тому же 'аргументу комплексное выражение (126.2) или (126.3), а затем
- § 12Г]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
561
взять вещественную часть результата. В обоих случаях получится одно и то же.
Но было бы грубой ошибкой переносить этот прием на нелинейные операции. Пусть, например, требуется возвести в квадрат вещественную величину х. Правильный результат будет х2. Попробуем, однако, формально применить комплексный метод. Заменим х на х + iy и возведем в квадрат, получим (х- — у2) -f- i2xy. Вещественная часть этого выражения равна х2 — у2. Она зависит не только от вещественной части выражения х + iy, но и от мнимой. Ошибка получилась потому, что возведение в квадрат — нелинейная операция.
§ 127. Вынужденные колебания затухающего осциллятора под действием синусоидальной силы
1. Вынужденные колебания затухающего осциллятора описываются уравнением
д + + (127.1)
где X (/) — внешняя действующая сила, точнее, электродвижущая сила, деленная на индуктивность катушки самоиндукции, или (в случае механических колебаний) сила, деленная на массу колеблющегося тела. Уравнение (127.1) линейно, т. е. первой степени относительно неизвестного q и его производных по времени. Оно неоднородно, т, е. содержит правую часть X (/). Для линейных однородных уравнений (т. е. уравнений без правой части) справедлив принцип суперпозиции, согласно которому сумма любых двух решений уравнения есть также решение того же уравнения. Для линейных неоднородных уравнений это несправедливо. Однако здесь имеет место суперпозиция решений в другом смысле. Пусть правая часть в уравнении (127.1) представляется в виде суммы X = ]^Xi(t), а д,-(/) —решение уравнения (127.1), в котором правая часть заменена на X; (t). Тогда сумма Ц — ^Ці (t) будет решением уравнения (127.1) с правой частью Х = 2}Х«'(0-Для теории колебаний отмеченное свойство линейных уравнений имеет большое значение. Оно позволяет общую задачу о вынужденных колебаниях под действием произвольно меняющейся силы свести к частной задаче о вынужденных колебаниях под действием синусоидальной силы. Дело в том, что согласно известной математической теореме Фурье всякая функция X (I) довольно общего вида может быть представлена в виде суммы синусоидальных функций (см. § 128).
Покажем теперь, как связаны между собой решения неоднородного н соответствующего ему однородного уравнений. Пусть q (() — любое частное решение неоднородного уравнения, (127.1).
562
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
Тогда <I + 2yq + о>02</ = X (t). Вычитая это соотношение из (127.1) и вводя обозначение Q = q — q, получим Q + 2yQ + со02Q = 0. Отсюда видно, что Q есть решение однородного уравнения. Таким образом, q = q -Ь Q, т. е. общее решение неоднородного уравнения (127.1) может быть представлено в виде суммы частного решения того же уравнения и обшрго решения соответствующего однородного уравнения.
2. После этих предварительных замечаний обратимся к задаче
о колебаниях затухающего осциллятора при наличии внешней силы. Сначала исследуем частный случай, когда сила X меняется синусоидально, т. е. представляется выражением
X = X0cosw t, (127.2)
где X, и м — постоянные. Задача сводится к решению уравнения
q + 2yq + alq = X0cos ю/. (127,3)
Среди частных решений этого уравнения есть такое, которое меняется во времени синусоидально с частотой внешней возбуждающей силы со. Будем искать его в комплексной форме, что можно делать, так как все математические операции, с которыми придется иметь дело, линейны и вещественны. Заменим правую часть уравнения
(127.3) на комплексную величину ХоЄіаІ, т. е. напишем
q + 2yq + tolq = X=sXoe!at. (127.4)
Частное решение последнего уравнения ищем в виде q = q^eiat, откуда q — i(>)q, q = —w2q. Подстановкой в уравнение (127.4) получаем
q=——'Уп ,-г еЧ (127.5)
v — ш- + 2((ву '
Это частное решение описывает так называемые вынужденные колебания осциллятора. Они происходят с частотой внешней возбуждающей силы (о. Добавив к частному решению (127.5) общее решение соответствующего однородного уравнения, получим
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 280 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed