Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
234
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
g,л на удаленной сфере, понятно, достаточно вычислить также с точностью до членов 1 /г2 включительно, а для этого надо учесть в выражении для g,„ и члены третьей степени по (І/f). Чтобы это сделать, достаточно пользоваться следующими формулами для поля излучения диполя Герца в волновой зоне в вакууме:
* = —У\ _ГА?іг__р_] ,
L сг4 crjt-r!c L С2г3 с2г Jt-rlc
(37.6)
Н = ^ГЬ-Г/С "t" c2r2 \pf\t-nc-
Они получаются из формул (141.10) тома III, если их написать для вакуума и в соответствии с этим положить D — Е, v = с. При этом в первой формуле (141.10) отброшен первый член, пропорциональный 1 /г3, так как на #эл он может повлиять только в члене порядка 1/г4. Из формул (37.6) надо найти [ЕН] в нужном нам приближении, опуская при этом члены, коллинеарные с г, поскольку ОНИ не играют роли при вычислении [rgan]. Таким путем, опуская значок t — r/с, получаем
езл = ~Ш*7г 'р+(•••)'¦’ <37-7>
*эл = -^?~Грг)[гр]- (37-8) Преобразуем эту формулу, воспользовавшись тем, что вектор р не меняет своей длины, а изменяется только из-за вращения. В таком случае р — [сор]. То же относится и к р, т. е. р = [сер]. В результате формула (37.8) преобразуется:
*эл = ~2Jv4 (рТ^Г = 2яс4г4 ' РгН!р»-)(в —(шг)р}. (37.9)
Чтобы найти полный момент излучения, испускаемого диполем в единицу времени, надо это выражение умножить на с и результат проинтегрировать ло всей поверхности бесконечно удаленной сферы. Ясно, что из-за симметрии вращения вокруг 6) при таком интегрировании получится вектор, направленный вдоль со. А так как вектор р — [юр] перпендикулярен к со, то последний член в (37.9) можно опустить. Тогда
^эл = ~2тк*г*~ (рг)2 = ~2лс*г^~ cos2<P ' ®' <37-10)
При интегрировании можно поступать так, как если бы вектор р оставался неподвижным, и выбрать сферическую систему координат, указанную на рис. 67. В этом случае элемент поверхности сферы будет dS = г2 sin ft d& dtp В результате для момента импульса излучения получим
л 2л
1изл=='Шг\ И <37Л1>
о о
Энергия, излучаемая диполем в единицу времени, равна «Уизл = (2/3с3)р2 (см. т. III, § 141). А так как р2 = со2р2, то получается
Рис. 67
(37.12)
ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАЛЬНЫХ ТЕРМОВ
235
§ 38. Четыре квантовых числа электрона и тонкая структура спектральных термов
1. Наличие у электрона внутреннего момента количества движения (спина) означает, что для электрона (в отличие от точечной классической частицы) трех степеней свободы недостаточно для характеристики его состояния. Электрон в атоме обладает дополнительной — четвертой — степенью свободы, называемой спиновой. Заметим, что пока что мы имеем в виду водородоподобный атом, а также вообще многоэлектронный атом или ион с одним наружным (валентным или оптическим) электроном. Такой электрон сейчас и предполагается в нашем рассмотрении. В квантовой механике его состояние описывается четырьмя квантовыми числами: 1) главным квантовым числом п\ 2) орбитальным квантовым числом /; 3) орбитальным магнитным квантовым числом, которое мы теперь будем обозначать через mi, и 4) спиновым квантовым числом ms.
Смысл первых трех квантовых чисел п, I, mi уже был выяснен в § 33. Спиновое же число ms определяет проекции вектора спина s на выделенное направление. Если атом уже находится в состоянии с определенным значением орбитального момента / (т. е. с определенными I2 и 1г), то выделенное направление (ось Z) при I2 ф 0 определяется вектором I. Спин s может быть ориентирован либо по I, либо против I. Это означает, что проекция вектора s на это выделенное направление может принимать только два значения: -\-Н/2 и —Й/2, или msh, где ms = ± 1/2. При / = 0 (т. е. когда атом находится в s-состоянии) весь момент количества движения атома чисто спиновый: s. Если состояние атома таково, что одна из проекций sx, sy, sz имеет определенное значение (равное ±Й/2), то соответствующая ось и определяет выделенное направление в атоме.
2. Орбитальный момент количества движения I и спиновый
момент s складываются в полный момент количества движения j = l-\-s по правилам векторного сложения (см. § 32). Проекция полного момента на избранное направление может принимать значения где гп/ = mi + ms — rnt ± 1/2 называется
квантовым числом проекции полного момента. Ясно, что операторы проекций полного момента на координатные оси удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям (31.6), что и операторы проекций орбитального момента. Отсюда следует, что определенные значения в одном и том же состоянии могут иметь квадрат полного момента /2 и одна из его проекций на координатные оси. Отсюда же следует, что
/2 = й2/(/+ 1),
где /—максимальное значение, которое может принимать кван-
236
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
товое число т/. Иногда / называют внутренним квантовым числом.
Поскольку j есть максимальное значение числа rrij, а I—максимальное значение числа mt, то из соотношения m/ = т/ ± 1/2 следует
/ = /±1/2. (38.1)
Знак «плюс» соответствует случаю, когда спин электрона ориентирован в направлении орбитального момента, а «минус»— когда он ориентирован противоположно. В обоих случаях число / полуцелое, поскольку / всегда целое.
