Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
5. Разумеется, в общем курсе физики нет возможности вдаваться в подробную и строгую теорию спина. Мы примем в качестве исходного положения, что спину s соответствует векторный оператор s, проекции которого sx, sy, sz удовлетворяют таким же перестановочным соотношениям (31.2), что и проекции оператора орбитального момента, т. е.
§у§г - $г§у = ifl§x,
SzSx SXSZ itlSy, (36.3)
SxSy — ifosZ’
Из них следует, что определенные значения в одном и том же состоянии могут иметь квадрат полного спина s2 и одна из его проекций на определенную ось (принимаемую обычно за ось Z). Если максимальное значение проекции sz (в единицах Н) равно s, то число всех возможных проекций, соответствующих данному s, будет равно 2s + 1- Опыты Штерна и Герлаха показали, что для электрона это число равно 2, т. е. 2s -f- 1 = 2, откуда s = = 1/2. Максимальное значение, которое может принимать
224 ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
проекция спина на избранное направление (в единицах ft), т. е. число s, и принимается за значение спина частицы.
Спин частицы может быть либо целым, либо полуцелым. Для электрона, таким образом, спин равен 1/2. Из перестановочных соотношений (36.3) следует, что квадрат спина частицы равен ¦s2 = s(s + 1), а для электрона s2 = l/2 ('/2 + 1) == 3/4 (в единицах ft2).
Измерения проекции магнитного момента шг по методу Штерна и Герлаха показали, что для атомов водорода и серебра величина шг равна магнетону Бора Шб, т. е. (35.12). Таким образом, гиромагнитное отношение для электрона
mz тБ е
Lz й/2 цес
в согласии с (36.2).
ЗАДАЧИ
1. С классической точки зрения спин электрона пытались истолковать как момент количества движения, возникающий из-за вращения электрона вокруг своего диаметра. Электрон считался шариком, его масса определялась по релятивистской формуле <% = цс2, причем принималось, что собственная энергия электрона имеет чисто электростатическое происхождение. Проанализировать трудности, возникающие при таком классическом истолковании спина.
Решение. Момент количества движения электрона при его вращении L = й/2 = /со, где / — момент инерции электрона относительно диаметра, а со — угловая скорость. Очевидно, I ¦< цг2, гак как максимальное значение 1 получилось бы, если бы вся масса электрона была распределена по окружности, а именно по экватору вращающегося электрона. Таким образом,
/г/2 < цг2со. откуда v > й/2цг,
где v = шг—максимальная линейная скорость на поверхности электрона. Масса электрона ц = ё?/с2. При определении собственной энергии электрона $ возникает трудность. Величина 8 зависит от распределения полного заряда е электрона по его объему. Минимальное значение $ = е2/2г получится при распределении заряда е по поверхности электрона. При равномерном распределении заряда по объему электрона получилось бы & = 3ke-!r. Примем, что <% = е2/г. Тогда
__ П йс* __ с
V 2$г/с2 ^ 2е2 2а ’
где а = е2/йс — безразмерная величина, называемая постоянной тонкой структуры (а я» 1/137). Таким образом, при сделанных предположениях о > 68,5 с, т. е. v больше скорости света с, что невозможно.
2. Показать, что методом Штерна и Герлаха измерить магнитный момент электрона невозможно, если опыт производится со свободным, электроном, а не с электроном, связанным с атомом.
Решение Поперечные размеры пучка частин Ах во всех направленнях должны удовлетворять условию Ах > X, где К — длина волны де Бройля для этих частиц. В противном случае пучок быстро размоется из-за дифракции. В оиыте Штерна и Герлаха производится отклонение (расщепление) пучка ? томов (точнее, ионов с зарядом е) в направлении оси Z (рис. 64). Средняя сила, вызывающая это отклонение, определяется выражением (36.1). Если учесть уравнение дНу/ду + dNz/dz — 0 (в направлении оси X магнитное поле
ЭФФЕКТ САДОВСКОГО И СПИН ФОТОНА
225
можно считать равным нулю), то эту силу можно представить в виде
дН ~ду
fz= ~тг^-. (36.4)
Если атом движется в плоскости IX со скоростью V, то ввиду симметрии вектор Н лежит в той же плоскости. Поэтому сила Лорентца (ejc)[vH] будет направлена вдоль оси Y. Она вызовет смещение пучка вправо или влево вдоль той же оси. В рассматриваемом вопросе это ие имеет значения, существенно лишь смещение пучка вдоль оси Z. Но если частица смещена в сторону на Ду от плоскости ZX, то появится слагающая силы Лорентца и вдоль оси Z, а именно
QЛор)г = “ vHy
В первом приближении Ну = (дНу/ду)&у, так что /г \ ev дНи
(ІЛор)г = - —Ду. (36.5)
Смещения частицы Aiz и A^z, вызываемые силами (36.4) и (36.5), относятся как
Ai Z _ f z _____ їїіг
д2г = (/ пор)г ~ (evlc)Ay '
Считая, что атом — однозарядный ион, в качестве шг следует взять магнетон Бора (35.12). Тогда
Діг __ h
Д22 2цео Ду'
Если Ца — масса атома, то
Ді2 1 иа X
-- =~Л-------А----> (Зо.б)
Д22 4я Це &У
где X — длина волны де Бройля для атома: X — h/nav.
В отсутствие магнитного поля щель, образуемая диафрагмами В и В', изобразится на пластинке Р горизонтальной полоской. При включении неоднородного магнитного поля центр полоски сместится силой fz. Нецентральные точки полоски испытают дополнительные смещения под действием силы Лорентца. Максимальные дополнительные смещения, и притом в противоположные стороны, получат края полоски. В результате полоска на пластинке Р перекосится. Для применимости метода Штерна и Герлаха необходимо, чтобы перекос был мал. Это значит, что должно выполняться условие ]А(21 2> | Д221 макс, где | Д221 макс — смещение края полоски, вызываемое силой Лорентца, т. е. ее значением при | Аг/1 = |Аг/|Иакс. Для свободного электрона Цо = Не, и (36.6) дает Аі2/Д22 = Х/{4пАу). В этом случае условию |Ді2| >
