Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В(у,г)
Рис. 69.
не содержащий о. Иными словами, достаточно ограничиться учетом одной только дисторсии. В этом приближении изображение А'В' будет расположено в плоскости параксиальных изображений.
Поставим задачу найти в предметной плоскости AB такое семейство кривых, чтобы его изображение в плоскости А'В' получилось в форме квадратной сетки.
Возьмем в предметной плоскости произвольную точку В с координатами у, г на расстоянии KV2H-Z2 от главной оптической оси. Проведем луч BP через центр входного зрачка. Сопряженный луч В'P' однозначно определится условием синусов sin и'hm и = А, где A = nU(n'l'), т. е. для рассматриваемого объектива А — величина постоянная, и и и' — углы Наклона падающего и прошедшего лучей к главной оптической оси. Положение изображения В' определится точкой пересечения луча В'P' с плоскостью параксиальных изображений, Подставим вместо sin ц и sin и' их значения
• л/ г/2+г2 . , -./ ^'2+г'а
где q' — расстояние плоскости А'В' от апланатической точки P'. Учтем при этом, что точки В и В' лежат в одной плоскости, проходящей череї главную оптическую ось, так что г' Iy' = г/у. Тогда получим
[A*q'2-(l--A*)y'2]y2—y*2(l — A*)z*=q*y'2.
Возьмем теперь в плоскости А'В' семейство прямых, параллельных оси Z: у' = С, где Є — параметр, который может принимать произвольные значения. Уравнение кривых в предметной плоскости А В, изображением которые является это семейство, найдется из предыдущего соотношения,,если в нем у' заменить на С. Таким 122 геометрическая теория оптических изображений ' [ГЛ. II
Путем получим
где
а2 —•
1-і cfi Ь*~ '
^2O)'
I-(I-Zl2)CO2 '
(18.2) (18.3)
а со — новый параметр, связанный с параметром С соотношением
V = ClAq'. (18.4)
Для объективов микроскопов всегда Л2 < 1, так что при со2 < 1/(1 — Аг) величина а существенно положительна. В этом случае (18.2) представляет семейство гипербол, осью которого является координатная ось К. При <о = 0 уравнение (18.2) переходит в Ji = O и изображает ось 2. Значения со2 > 1/(1 — А'1) надо исключить, так как в этом случае уравнение (18.2) представляет семейство мнимых эллипсов и никакого оптического изображения не получается. Аналогично, семейство прямых г' = С при тех же значениях параметра ш является оптическим изображением семейства гипербол
22 ^2-=I1 (18.5)
а2
У_
б3
получающегося из семейства (18.2) поворотом на 90° вокруг начала координат О. Оба семейства гипербол (18.2) и (18.5) пересекаются между собой, образуя криволинейную сетку, представленную на рис. 70. При переходе от одной гиперболы
к соседней параметр ш должен получать одинаковые приращения. Тогда и приращения параметра С, как это видно из (18.4), также будут одинаковыми. Следовательно,-если рис. 70 поместить на расстоянии q перед передней апланатической точкой Р, то гиперболы изобразятся в виде квадратной сетки прямых. При W2 = 1/2(1 — А2) уравнение (18.2) переходит в
Рис. 70.
Рис. 71.
у- — Zi = Ь2, а уравнение (18.5) — в г2 — у2 — o2. Обе эти гиперболы имеют асимптотами биссектрисы координатных углов. Следовательно, Ь есть расстояние от начала координат до вершины той из гипербол, асимптоты которой совпадают с биссектрисами координатных углов. Для объективов микроскопов А — величина малая,, квадратом которой по сравнению с единицей можно пренебречь. В этом приближении Ь =s q. Это дает простой способ определения расстояния q, на котором следует поместить ряс, 70, чтобы его изображение получилось в виде квадратной сетки, ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
123
Теперь становится понятным метод Аббе испытания объективов микроскопов на выполнение условия синусов. Аббе пользовался шаблоном, воспроизведенным на рис. 71. Удалив окуляр микроскопа, следует поместить такой шаблон на расстоянии q перед передней апланатической точкой. Глаз наблюдателя помещается во вторую апланатическую точйу. Зрачок глаза играет роль выходного, а его изображение, даваемое объективом, — входного зрачка системы. Если изображение шаблона получается в виде сетки квадратов, то объектив удовлетворяет условию синусов. Если изображение получается слишком мелким, то можно применить вспомогательный микроскоп небольшого увеличения, перед объективом которого помещена малая диафрагма, расположенная во второй апланатической точке P'. При испытании описанным способом большого числа объективов микроскопов, ранее изготовленных лучшими мастерами без всяких расчетов путем последовательных проб и подбора линз, Аббе обнаружил, что все хорошие объективы всегда удовлетворяли условию синусов.
§ 19. Теорема косинусов. Стигматические изображения широкими пучками лучей
1. Обобщим результаты предыдущего параграфа на случай произвольных оптических систем. Среды, в которых распространяются световые лучи, здесь предполагаются изотропными, но могут быть неоднородными. Таким образом, в общем случае световые лучи будут криволинейными. Пусть P и P' — две точки с радиусами-векторами г и г', лежащие на одном луче. Оптическая длина луча, соединяющего эти точки, рассматриваемая как функция их координат, называется точечным эйконалом, или характеристической функцией оптической системы. Она была введена Гамильтоном (1805—1865) и оказалась весьма полезной при исследовании оптических изображений. Характеристическую функцию будем обозначать через H = H (г, г').
