Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики. Том 4. Оптика " -> 57

Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 4. Оптика — Оптика, 1980. — 752 c.
Скачать (прямая ссылка): obshkfopt1980.djvuСкачать (прямая ссылка): optika1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 331 >> Следующая


sin2 (и/2) sin2 (и'/2)

не должно зависеть от угла и. Оба условия могут быть выполнены одновременно тогда и только тогда, когда и = ± и', т. е. когда апланатические точки P и P' являются узловыми или обратными узловыми точками системы. Но в таком случае, если отрезок I перпендикулярен к оптической оси, из (18.1) следует:

I nl I = I n'l' |. Если же отрезок I лежит на оптической оси, то из (19.3) также следует I nl I = I n'l' |. Таким образом, теорема доказана для двух частных случаев: когда отрезок I лежит на оптической оси и когда он перпендикулярен к ней. Тем самым она доказана для отрезка I произвольного направления.

Во всех центрированных системах, применяющихся на практике, линейное увеличение, как правило, отлично от піп'. Поэтому из доказанной теоремы следует, что для таких систем апланатические пары точек, если они существуют, могут быть лишь изолированными точками оптической оси. Это значит, что для каждой пары апланатических точек можно указать конечные интервалы оптической оси, содержащие эти точки, внутри которых нет другой пары апланатических точек. \

В приближении параксиальной оптики условие синусов и условие Гершеля выполняются всегда. Первое из вих в указанном приближении переходит 126

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИй ' [ГЛ. II

в теорему Лагранжа — Гельмгольца. Для доказательства второго из соотношений (11.20), (11.17), (11.13), (10.6) находим

— = = = І — бХ~~ І Xі f п у* п' ц'2'

а это при малых углах и и и' совпадает с условием Гершеля (19.3). Таким образом, равенство углов и н и', а следовательно, и равенство оптических длин nt и n'V не обязательны. Благодаря этому в параксиальной оптике поперечное и продольное увеличения могут принимать любые значения, не обязательно равные п/п'.

3. Пусть P' является стигматическим изображением точки Р. Для того чтобы бесконечно малый элемент плоскости S, проходящий через Р, изображался стигматически в виде бесконечно малого элемента плоскости S', проходящей через P', необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие косинусов для двух бесконечно малых непараллельных отрезков, лежащих в плоскости S и проходящих через точку Р.

Необходимость теоремы очевидна. Для доказательства ее достаточности соединим PnP' произвольным лучом. Пусть Ctl1 и dl2 —два бесконечно малых неколлинеарных вектора, проходящих через точку Р, для которых удовлетворяется условие теоремы косинусов. Таким образом, по условию разности

n's' dl[ -nsdh = dHv

n's' dli- nsdl2 = dH2 1 ' '

не зависят от направления луча, соединяющего P с P'. Но они могут зависеть от направлений векторов и dl2. Произвольный вектор dl, проходящий через точку P и лежащий в плоскости предмета, можно разложить по векторам rf/x и dl2:

dl = а dlL + b dl2, причем коэффициенты а и b не зависят от s, Введем вектор

dl' = adl[ + bdl'u, умножим соотношения (19.4) на а и b и сложим. Получим

n's' dl' —nsdh= dH, (19.5)

где dH = a dHt + b dH2. Отсюда видно, что разность (19.5) не зависит от s, т. е. условие теоремы косинусов выполняется для произвольного вектора dl, проходящего через точку P и лежащего в плоскости предмета. Следовательно, предмет изобразится оптической системой стигматически. Вообще говоря, изображение не будет подобно самому предмету.

Направления произвольных неколлинеарных векторов ^Z1 и dl2 можно принять за координатные оси KhZb плоскости предмета, направления оптически сопряженных с ними отрезков dl[ и dl's — за координатные оси Y' и Z' вплоскости изображения, а сами точки P и P' — за начала координат соответствующих координатных систем. Тогда в окрестностях точек Pn P' координатные оси У и 2 изобразятся оптической системой координатными осями Y' и 2'. Координаты сопряженных точек, бесконечно близких к P и P', будут связаны линейными соотношениями

у'= Ay, г' = Bz. (19.6)

Координатная система. Y'Z', вообще говоря, будет косоугольной, даже в том случае, когда система YZ прямоугольная. Однако если в плоскостях предмета и его изображения ввести прямоугольные системы координат, то из соотношений (19.6) и из формул преобразования координат непосредственно следует, что прямоугольные координаты сопряженных точек будут связаны формулами линейного преобразования

t/ =Anff+A1^, г' = АпУ + А22г.

(19.7) ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

127

Из свойств линейного преобразования следует, что в плоскости предмета существует пара взаимно перпендикулярных прямых, которой в плоскости изображения соответствует пара также взаимно перпендикулярных прямых. Если эти четыре прямые принять за координатные оси, то формулы преобразования снова примут вид (19.6), с тем отличием, что теперь обе координатные системы прямоугольны. Вообще говоря, A ^= В. Поэтому изображение бесконечно малой площадки происходит с нарушением подобия: бесконечно малый круг изображается в виде эллипса. Только в частном случае, когда A = B, система дает подобные изображения бесконечно малых площадок, находящихся в окрестности точки Р.

4. Следуя Каратеодори (1873—19-50), говорят, что световой луч лежит в поле инструмента, если он действительно проходит через диафрагмы из пространства предметов в пространство изображений. Говорят также, что отрезок кривой лежит тангенциально в поле инструмента, если все лучи, касающиеся того отрезка, лежат в поле инструмента.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 331 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed