Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Фиксировав положение начальной точки Р, будем перемещать конечную точку P', Вместе с точкой P' будет перемещаться и луч PP', соединяющий ее с точкой Р. В результате получится пучок лучей, исходящих в различных направлениях из точки Р, как если бы она была источником света {рис. 72). Пусть F1F' — волновой фронт, соответствующий этому пучку, проходящий через начальное положение точки P'. При смещении P' в точку Q', лежащую на луче PA'Q', функция H получает приращение ДH = (PA'Q ) — (PP'), или, ввиду равенства оптических длин PP' и PA',
АН = (PA'Q')-(PA') = (A'Q').
Если смещение dr' = P'Q' бесконечно мало, то АН переходит в
dH = п' I dr' I cos a' = п' (s' dr'),
где а' — угол между вектором dr' и единичным вектором луча s' в точке P', а п' — показатель преломления среды в этой точке. Аналогично найдется бесконечно малое приращение функции Н, когда конечная точка P' остается неподвижной, а начальная точка P перемещается на dr. В этом случае при вычислении надо воспользоваться пучком лучей, сходящихся в точке (рис. 73). В результате получится dH = — п (s dr), где я, s и dr имеют такой же смысл, что и в предыдущем случае, но относятся к начальной точке Р, aHpn изменении обоих 124 геометрическая теория оптических изображений ' [гл. iI
аргументов гиг' получим
dH = п' (s' dr') — n(s dr). (19.1)
Докажем теперь следующую теорему, называемую теоремой косинусов: Пусть точка P' (рис. 74) является стигматическим изображением точки Р. Соединим эти точки произвольным лучом, направления которого в P и P' определяются единичными векторами s и s'. Пусть QuQ' — две точки, бесконечно близкие к P и P'. Для того чтобы точка Q' была стигматическим изображением точки Q в широких пучках лучей, необходимо и достаточно, чтобы разность
nsdl — n's' dl', (19.2)
где dl = PQ, dl' = P'Q', не зависела от направления луча, соединяющего P с P'.
Для доказательства необходимости теоремы допустим, что Q' является стигматическим изображением точки Q. Обозначим через H оптическую длину какого-либо луча, соединяющего сопряженные точки P и P', а через H' — оптическую длину луча, соединяющего сопряженные точки Q и Q'. В силу известного
свойства сопряженных точек величины H и H', а с ними и разность dH = H' — — H — n's' dl' — ns dl не зависят от направлений лучей, соединяющих P с P', a Q с Q'. Таким образом, выражение (19.2) не может зависеть от S1 и необходимость теоремы доказана.
Докажем теперь ее достаточность. Соединим точки QhQ' лучом QQ', Кроме того, через Q проведем произвольный луч QQ" и отметим на нем такую точку Q", чтобы оптическая длина (QQ") была равна оптической длине (QQ'). Так как по условию теоремы P' является стигматическим изображением точки Р, то из соображений непрерывности следует, что вектор P'Q" = dl" бесконечно мал, В таком случае по формуле (19.1)
(QQ") - (PP') = n's' dl"—ns dl.
По той же формуле
(QQ') — (PP') = n's' dl' — ns dl.
Так как по построению (QQ') = (QQ"). т° s' dl" = s' dl', причем по условию теоремы это соотношение должно выполняться для всех направлений вектора s'. Это возможно тогда и только тогда, когда dl" = dl', т. е. когда точка Q" совпадает с Q'. Таким образом, любой луч, исходящий из Q, пройдет через Q', что и доказывает достаточность теоремы.
Чтобы конечная кривая изображалась стигматически широкими пучками лучей, необходимо и достаточно, чтобы условия теоремы косинусов выполнялись для каждой пары сопряженных бесконечно малых отрезков этих кривых.
2. Условие синусев является следствием теоремы косинусов. Действительно, согласно этой теореме разность nls — n'l's' = nl jin и — n'l' sin и' не должна ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
125
зависеть от направления луча, соединяющего сопряженные точки PnP' (рис. 75). Но если луч идет вдоль оптической оси, то указанная разность обращается в нуль. В результате снова получается соотношение (18.1), и притом не только как необходимое, но и как достаточное условие.
Допустим теперь, что отрезок I = PB лежит на оптической оси. Найдем условие, при котором он изображается стигматически широкими пучками лучей в виде отрезка V = P'В', также лежащего на оптической оси, В рассматриваемом случае при и = 0
nls — n'l's' = nl cos и — n'l' cos и' = nl— ti'V,
Поэтому на основании теоремы косинусов должно быть
nl COS и —n'l' cos и' = пі —n'l',
или
nl sin2 (и/2) = n'l' sin2 (и'/2), (19.3)
каковы бы ни были значения углов «и и', Это соотношение называется условием Гершеля.
Пусть PnP'- сопряженные апланатические точки. Если в бесконечно малых окрестностях этих точек существует другая пара апланатических точек Q и Q' (а следовательно, и бесконечное множество таких пар), то оптическая длина бесконечно малого линейного объекта, лежащего в окрестности точки Р, будет равна оптической длине его изображения, получающегося в окрестности точки P'. Действительно, так как P и P' — апланатические точки, то по условию синусов отношение
Sin и
cos (u/2) sin (и/2)
sin и' cos (и'/2) sin (и'/2)
не должно зависеть от и. С другой стороны, так как QhQ' — также апланатические точки, то бесконечно малый отрезок PQ оптической оси изображается в виде отрезка P'Q' той же оси, Поэтому должно соблюдаться и условие Гершеля: отношение
