Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
§ 20. Об абсолютных оптических инструментах
1. С точки зрения геометрической оптики идеалом был бы оптический инструмент, изображающий стигматически широкими пучками лучей каждую точку пространства предметов в виде точки пространства изображений. Такой инструмент называется абсолютным. Обсудим вопрос о принципиальной возможности абсолютных оптических инструментов и исследуем их свойства. ОБ АБСОЛЮТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТАХ
129
Как доказано в предыдущем параграфе, изображения бесконечно малых объектов, даваемые абсолютным оптическим инструментом, всегда конформны. При этом оптическая длина любой линии равна оптической длине ее изображения. Отсюда следует, что в абсолютном оптическом инструменте оптическая длина луча между двумя сопряженными точками одинакова для 'всех пар сопряженных точек. Это положение называется теоремой Каратеодори.
Для доказательства возьмем две пары сопряженных точек: Р, P' и Q, Q' (рис. 76). Через точку P проведем пучок лучей во всевозможных направлениях. Все эти лучи пересекутся в точке P'. Один из них пройдет через точку Q. Возьмем другой произвольный луч PAP', В силу свойства сопряженных точек (PAP ) = (PQP'). Луч PQP', поскольку он проходит через точку Q, должен пройти и через сопряженную ей точку Q'. При этом кривая P'Q' будет оптическим изображением кривой PQ, а потому (PQ) = (P'Q'). Отсюда следует (QP'Q') = = (PQP'). Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем: (PAP') = »= (QP'Q'), что и требовалось доказать.
2. Допустим теперь, что пространства предметов и изображений однородны, т. е. показатели преломления п и п' не зависят от координат. В этом случае любая прямая пространства предметов изобразится абсолютным инструментом в виде прямой пространства изображений. В самом деле, проведем через произвольную точку О пространства предметов три луча, лежащих в поле инструмента и не находящихся в одной плоскости. В пространстве изображений сопряженные с ними лучи пересекутся в сопряженной точке О'. Примем эти лучи за координатные оси в .пространствах предметов и изображений. Ясно, что координатные оси одной координатной системы будут изображаться координатными осями другой координатной системы. При этом без потери общности можно принять, что одноименные оси являются сопряженными. Так как изображение происходит с постоянным увеличением п/п', то при надлежащем выборе положительных направлений координатных осей координаты сопряженных точек будут связаны соотношениями
у'—Hr у. «' (20.1)
справедливыми для всех точек пространства предметов и пространства изображений, а не только для окрестностей сопряженных точек О и О'. Из них непосредственно следует, что любая прямая изображается прямой. Таким образом, при постоянных nun' абсолютный инструмент является телескопической системой.
Докажем теперь, что при постоянных nun' абсолютный оптический инструмент возможен только при п >= п'. Для доказательства заметим, что линейное увеличение п/п' не зависит от положения объекта. Чтобы определить это увеличение, поместим" бесконечно малый объект тангенциально на границе раздела сред. Тогда его изображение, возникающее как при преломлении, так и при отражении, совместится с самим объектом. Отсюда следует, что п/п' = 1, и наше утверждение доказано. Таким образом, показатели преломления сред должны быть одинаковы, и никакого преломления не будет.
Остается исследовать только отражение. По теореме Каратеодори оптическая длина луча между сопряженными точками не зависит от положения.объекта. Поместим точечный объект на границе раздела сред. Его изображение получится в той же точке. Поэтому оптическая длина луча между объектом и его изображением должна равняться нулю, независимо от положения объекта. При ,преломлении, когда оптические длины лучей на всех участках сохраняют знаки, это было бы возможно только тогда, когда изображение совпадает с самим объектом. Но в этом случае, как мы видели, никакого преломления нет, и об изображении можно говорить лишь условно. Однако при отражении, если изображение получается мнимым, оптические длины лучей на разных участках могут иметь Противоположные знаки. Тогда возможен и нетривиальный-случай, когда объект и его изображенное находятся в разных местах, хотя оптические длины лучей 130 геометрическая теория оптических изображений ' [гл. ii
между ними и обращаются в нуль. При этом формулы (20.1) переходят в
х' = х, у'= у, г' = г. (20.2)
Такой случай осуществляется в плоском зеркале или в системе плоских зеркал. Это единственный абсолютный оптический инструмент, возможный при постоянных nun'.
3. Нетривиальные абсолютные оптические инструменты, дающие изображения с увеличением, отличным от единицы, возможны только с использованием неоднородных сред и криволинейных лучей. Первый пример такого инструмента был приведен Максвеллом. В дальнейшем были приведены и другие примеры. Максвелл назвал свой инструмент «рыбьим глазомъ, хотя никакого сходства с глазом рыбы у него нет. Более того, «рыбий глаз» Максвелла вообще трудно назвать инструментом в обычном смысле этого слова. Действительно, он представляет собой неограниченную неоднородную среду, показатель преломления которой меняется в пространстве таким образом, что любой луч в этой среде имеет форму окружности. К идее «рыбьего глаза» естественнее всего прийти с помощью геометрического построения, называемого стереографической проекцией.
