Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Пусть бесконечно малая площадка изображается оптической системой стигматически. Пусть, далее, dit и dl2 — бесконечно малые не параллельные отрезки, пересекающиеся в пределах площадки и лежащие в ее плоскости. Если эти отрезки лежат тангенциально в поле инструмента, то рассматриваемая площадка изображается оптической системой с сохранением подобия. При этом оптическая длина любого отрезка, лежащего на площадке, равна оптической длине сопряженного с ним отрезка.
По условию теоремы лучи, выходящие из P (рис. 76) в направлениях (Ill и dl2, лежат в поле инструмента. В пространстве изображений они пройдут в направлениях оптически сопряженных отрезков dl[ и dl'2. Рассмотрим сначала изображение отрезка dlt. Возьмем два луча, исходящих из P в направлениях dl2 и dlv На основании теоремы косинусов
ndliCOsa — n' dl[cosa' = п dlx — п' dl[, (19.8)
Аналогично, рассматривая изображение отрезка dl2,
п dl2 cos а — п' dl'2 cos a' = п dl2 — n' dl'2. (19.9)
Допустим, что dli = dl2. Докажем, что тогда dl\ = dl'2. В самом деле, почленное вычитание (19.9) из (19.8) дает
п' dl[ (1 — cos a') = п' dl'z (1 — cos а'). (19.10)
Разность 1 —cosa' не может обращаться в нуль. Действительно, по предположению угол а не равен нулю. Но заданием направления в какой-либо точке луч определяется однозначно. Если бы а' = 0, т. е. направления обоих рассматриваемых нами лучей в точке P' совпадали, то они совпадали бы и во всех других точках, в частности в начальной точке Р. Значит, было бы а = 0, вопреки предположению. Поэтому, сокращая на п' (1 — cos«'), из (19,10) находим dl[ = dli, что и требовалось доказать, 128
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ' [ГЛ. II
Из доказанного следует, что отрезки (Ili и dl2 изображаются оптической системой с одинаковым увеличением. Следовательно, в рассматриваемом случае в формулах (19.6) А = ?, т. е. увеличение любого отрезка в плоскости предмета не зависит от его направления. Отсюда следует, что изображение происходит с сохранением подобия, т. е. является конформным.
Но изображение с сохранением подобия характеризуется также сохранением углов. Следовательно, а = а', и формула (19.8) дает п й1г = n'dl[. Вообще, для всякого отрезка dl, лежащего в плоскости предмета, п dl = п' dl', dl'Idl = = піп', и вторая часть теоремы доказана.
Итак, стигматические изображения площадок, тангенциально лежащих в поле инструмента, могут происходить только с вполне определенным увеличением п/п'. В частности, когда показатели преломления пространств предметов и изображений одинаковы, увеличение равно единице. Это утверждение перестает быть справедливым для площадок, не лежащих тангенциально в поле инструмента.
Примером может служить преломление на сферической поверхности (рис. 67). Сфера S отображается на сферу S' стигматически широкими пучками лучей. Однако линейное увеличение, как видно из построения, равно отношению квадратов показателей преломления, а не их первых степеней. Причина этого в том, что ни одна из сфер S и S' не лежит тангенциально в поле инструмента. Напротив, если линейный объект поместить в точку О, то, поскольку последняя является парой совпадающих узловых точек, линейное увеличение будет равно просто отношению показателей преломления в согласии с обсуждаемой нами общей теоремой. Действительно, ввиду шаровой симметрии любой линейный объект, помещенный в центре О, лежит тангенциально в поле инструмента.
Бесконечно малую часть конечной поверхности можно рассматривать как бесконечно малую плоскую площадку. Поэтому для стигматического изображения конечной поверхности необходимо и достаточно, чтобы стигматически изображались все бесконечно малые площадки, на которые можно разбить эту поверхность.
5. Рассмотрим, наконец, стигматические изображения объемных объектов широкими пучками лучей. Этот вопрос может быть исследован в точности так же, как и аналогичный вопрос для поверхностных объектов. В частности, может быть доказана следующая теорема:
Пусть точка P' является стигматическим изображением точки Р. Для того чтобы бесконечно малый элемент объема в окрестности точки P изображался стигматически, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие теоремы косинусов для трех бесконечно малых отрезков, проходящих через точку P и не лежащих в одной плоскости.
Новым по сравнению с изображениями элементов поверхностей является то, что в случае стигматического изображения элементов объема всегда существуют три отрезка Al1, dl2, dl3, не находящиеся в одной плоскости и лежащие тангенциально в поле инструмента. Поэтому, повторяя рассуждения, приведенные применительно к изображениям элементов поверхности, приходим к заключению, что іти три отрезка изображаются с одним и тем же увеличением. Как следствие этого, получаем следующую теорему:
Стигматическое изображение элементов объема, гели оно осуществляется широкими пучками лучей, всегда конформно, т. е. происходит с сохранением подобия. При этом линейное увеличение равно п/п', так Что оптическая длина предмета всегда равна оптической длине изображения.
