Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Такая проекция осуществляется следующим образом. Возьмем сферу S, через центр которой проведем координатную плоскость XY (рис. 77). Пусть N — точка пересечения этой сферы с осью Z. Соединим точку N с каждой точкой
Z
К сферы прямой NK и продолжим эту прямую до пересечения с плоскостью XY в точке Р. Точка P и называется стереографической проекцией точки К на плоскость XY. Легко показать, что координаты х, у, г точки К связаны с координатами т) соотношениями
E = flCT tI=-CT <20-3>
где а — радиус сферы S.
Каждая окружность сферы S при стереографической проекции преобразуется в окружность плоскости XY и обратно. В самом деле, плоскость Л*+. + By + Cz + D = 0 пересекает сферу S по окружности. Если в уравнение этой плоскости подставить значения координат (20.4), то получится уравнение второй степени, в котором будет отсутствовать член с произведением grj, а квад- ОБ АБСОЛЮТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТАХ
131
раты I2 и т]2 войдут только в комбинации |2 + т)2, Такое уравнение есть уравнение окружности.
Пусть da= Vdx2-^dyi+dz2 — элемент длины на сфере S. При стерео-графической проекции он отобразится элементом длины ds — Yd\2 + dr]2 на плоскости XY. Пользуясь формулами (20,4), нетрудно показать, что эти элементы связаны соотношением
da=r+Wds' (20-5)
где г2 = I2 + г|2. Кривая кратчайшей длины, проведенная на какой-либо поверхности между двумя точками, называется геодезической линией этой поверхности. Для сферы геодезическими линиями являются дуги больших кругов. Возьмем на сфере S любые диаметрально противоположные точки К (х0, у о, Z0) и К' (—хо, —Уо, —Z0). Пусть P и P' — их стереографические проекции на плоскость XY. Через прямую, соединяющую точки К и К', можно провести бесконечное множество плоскостей, пересекающих сферу S вдоль больших кругов, проходящих через эти точки. При стереографической проекции эти большие круги изобразятся окружностями, соединяющими точки P и P' (рис. 78). Вдоль всех этих окружностей интеграл ^ ds/( 1 + г2/а2) принимает одно и то же значение, как это непосредственно видно из соотношения (20.5).
Вообразим теперь сферически симметричную- среду с центром в начале координат О, показатель преломления которой определяется выражением
п =
п0
'1 +г2/а2 '
(20.6)
Рис. 78.
где п0 — постоянная, а г — расстояние от начала координат. Тогда о птиче-» ские длины всех окружностей между точками P и P', изображенных на рис. 78, будут одинаковыми. Отсюда следует, что все эти окружности будут совпадать со световыми лучами, исходящими из точки P и сходящимися в точке P'. Одна из этих окружностей вырождается в прямую, соединяющую точки PkP'. Она получается в результате стереографической проекции большого круга, лежащего в «плоскости
NKK'- Начало координат О лежит в той же плоскости, а следовательно, и на прямой PP'. Вообще говоря, его положение не совпадает с серединой отрезка PP'. Исключение составляет только случай, когда диаметрально противоположные точки KnK' сферы S лежат в координатной плоскости XY. В этом случае большой круг, лежащий в той же плоскости, совпадает со своей стереографической проекцией, а потому радиус кривизны светового луча будет равен радиусу сферы S, т. е. а.
Ввиду шаровой симметрии все плоскости, проходящие через центр О, эквивалентны. Поэтому луч, исходящий из точки Р, пройдет через сопряженную точку P', независимо от того, лежит он в координатной плоскости XF или не лежит. Кроме того, приведенные нами рассуждения применимы для любой пары диаметрально противоположных точек К и К' и соответствующей им пары сопряженных точек PkP'.
Таким образом, получается следующий результат. Все лучи, выходящие из любой точки среды P1 описав окружности, собираются в другой тачке Р'ш 132
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИй ' [ГЛ. iI
т. е. точка P' является стигматическим изображением точки P в широких пучках лучей. Иными словами, среда с показателем преломления (20.6) обладает свойствами абсолютного оптического инструмента. Она и была названа Максвеллом «рыбьим глазом»,
1. На рис. 79 приведен горизонтальный разрез правого гла»а человека (вид сверху). Глазное яблоко заключено в плотную белую непрозрачную оболочку ww, называемую склерой. Через заднюю стенку склеры проходит глазной нерв е и кровеносные сосуды. Передняя часть склеры переходит в прозрачную роговую оболочку, или роговицу h, более выпуклую, чем склера. Толщина склеры от
0,4 до 1,1 мм, роговицы — около 0,5 мм. За роговицей следуют передняя глазная камера а, хрусталик I, задняя глазная камера gl. Эти части вместе с роговицей составляют оптическую систему глаза, дающую при преломлении лучей оптические изображения предметов. Толщина передней глазной камеры, а также хрусталика около 3,6 мм. Передняя глазная камера заполнена прозрачной жидкостью, называемой водянистой влагой, задняя — прозрачным студенистым веществом, называемым стекловидным телом. Показатели преломления обеих этих сред практически одинаковы и равны 1,336. Показатель преломления роговой оболочки 1,376.
