Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Сферическая аберрация есть единственная из геометрических аберраций, остающаяся и в том случае, когда точка-объект находится на главной оптической оси системы. Все прочие геометрические аберрации в этом случае исчезают. Это верно в любом приближении, а не только для аберраций третьего порядка.
3. Кома. Если в разложении (15.1) отличны от нуля только коэффициенты В и D, то соответствующая аберрация называется комой. В этом случае
Ar' = В {or) о -f- DcrV. Отсюда легко получить
Рис. 56. 104
геометрическая теория оптических изображений [гл. и
Следовательно, аберрационной кривой будет окружность радиуса 1/гВа2г, центр которой смещен от параксиального фокуса в направлении вектора г на расстояние (D + 1/2В)о2г. Теперь легко получить представление о характере изображения точечного о&ьекта при наличии одной только комы в отсутствие других аберраций. Для этого проведем в плоскости входного зрачка произвольную окружность, центр которой совпадает с центром зрачка/ Лучи, исходящие из точечного объекта и проходящие через эту окружность, пересекут плоскость параксиального изображения также по окружности.
Совокупность таких окружностей и г даст изображение рассматриваемого
точечного объекта в этой плоскости. Окружности и^еют две прямолинейные огибающие, Пересекающиеся в параксиальном фокусе и составляющие
Рис. 58.
между собой угол сс, определяемый соотношением sin (а/2) = = В/(В 2D). Более подробное исследование, которое мы не приводим, показывает, что В = 2D, а потому а = 60°. Направление вектора г является биссектрисой угла между огибающими (рис. 57). Изображение точки, таким образом, напоминает комету. Отсюда и произошло название «кома».
Происхождение комы ясно из рис. 58, Она обусловлена косыми пучками лучей.
4. Астигматизм косых пучков и искривление плоскости изображения. Эти аберрации удобно рассматривать совместно, так как обе они обусловлены членами первой степени по а и второй степени по г. Они возникают, когда оба коэффициента С и ? или один из них отличны от нуля. Если все прочие коэффициенты равны нулю, то формула (15.1) переходит в
6г' = Сг*о + Е{аг)г. (15.2)
Для определения формы аберрационной кривой ось У проведем через точку-объект Р. Тогда г = yj. Уравнение окружности входного зрачка запишем в параметрической форме т] = о cos 9, ? = геометрические аберрации
105
= о sin ф, где ф — центральный угол, рассматриваемый как параметр. Таким путем из предыдущего соотношения получаем уравнение аберрационной кривой:
&У' = (С + ?) у\ — {С + Е) ay2 cos ф,
Az' = Су% = Cay2 sin <р. * ' '
Это — эллипс, центр которого находится в параксиальном фокусе, оси параллельны координатным осям Y и Z, а их длины пропорциональны радиусу входного зрачка и квадрату расстояния изображаемой точки от главной оптической оси. Изображением точки будет светлое пятнышко, ограниченное аберрационной кривой. Это указывает на то, что пучок лучей, дающий изображение, — астигматический. При параллельном смещении экрана, на котором получается изображение, вдоль оптической оси оно по-прежнему сохраняет форму эллипса, но форма и размеры эллипса изменяются. При двух положениях экрана эллипс вырождается в прямолинейные отрезки, один из которых параллелен оси Y, а другой — оси Z.
Для доказательства поместим начало координат в центре выходного зрачка и будем характеризовать луч в пространстве изображений точками пересечения его с плоскостью выходного зрачка и с плоскостью параксиального изображения. Координаты первой точки будут (0, г)', ?'), второй — (х', у' + Ay', Az'). Если X, Y, Z — текущие координаты, то уравнение рассматриваемого луча запишется в виде
Полагая здесь ц' = = Ay' = Az' = 0, найдем поперечные координаты параксиального фокуса: Y0 = y'XIx', Z0 = 0 (продольная координата того же фокуса равна х'). Таким образом,
Y-Y0 = U-^-U +^r Ay',
^x' х (15 4)
Z-Z0 = (I-X)?+^Az'.
В последних слагаемых в окрестности параксиального фокуса можно считать X = х', так как это вносит ошибки высшего порядка малости, не учитываемые в рассматриваемом приближении. По той же причине в формулах (15.3) можно положить у = у'IP1, z = ZVp1, т] = r)'/?2, ? = ?'/р2) где P1 и ?2 — линейные поперечные увеличения для объектов, лежащих соответственно в предметной плоскости и в плоскости входного зрачка, как они выражаются в параксиальном приближении. Учтя еще, что у ViY являются лишь различными обозначениями одной и той же ординаты, можем записать (15.3) в виде 106
геометрическая теория оптических изображениЙ [гл. I!
где С' и E' — новые постоянные, а абсцисса х' введена в знамена' тели для удобства. В результате всего этого формулы (15.4) в окрестности параксиального фокуса преобразуются в
Y-Y0 = ^[x'-X + (C' + E')Y% '
* / (15.5)
Z-Z0 = ^rlx'-X+ C'Y*].
Если
X -*' = (С' + ?') Y2, (15.6)
то Y — Ya = Ot т. е. эллипс вырождается в прямолинейный отрезок, параллельный оси Z. Это есть фокальный отрезок, образованный меридиональными лучами. Аналогично, ес^и
X-X1^CY*, (15.7)
то Z — Z0 = 0, и эллипс переходит в другой фокальный отрезок, параллельный оси Y. Он образуется экваториальными лучами. От вращения кривых (15.6) и (15.7) вокруг главной оптической оси получаются две поверхности, касающиеся друг друга в общей точке пересечения их с главной оптической осью. Эти две поверхности и образуют каустику лучей, прошедших через оптическую систему. Вообще говоря, они имеют только одну общую точку. Каустика и есть та поверхность, в которую переходит плоскость изображения параксиальной оптики. Таким образом, имеет место не только астигматизм, но и искривление поверхности изображения.
