Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
можно разложить на элементарные астигматические пучки, каждому из которых соответствует пара фокальных точек. Геометрическое место этих точек есть двухлисгная поверхность, называемая каустической поверхностью, или каустикой.
ЗАДАЧА
Точечный источник света P помещен в прозрачной однородной среде, ограниченной плоскостью. Световые лучи, исходящие из Р, испытывают преломление на этой плоскости. Найти для них каустическую поверхность.
Решение. Каустика преломленных лучей состоит из двух листов. Один из них есть геометрическое место фокальных точек меридиональных лучей, т, е, лучей, лежащих в плоскости падения главного луча элементарного астигматического пучка. Другой — геометрическое место фокальных точек экваториальных лучей, т. е. лучей, лежащих в перпендикулярной плоскости, проходящей через главный луч элементарного пучка.
Пусть п — показатель преломления среды, в которой помещен источник Р. Показатель преломления пространства, с которым граничит эта среда, примем за единицу. Введем прямоугольную систему координат с началом О, расположенным на границе среды. За ось Z примем нормаль к поверхности среды, направив эту ось в сторону точки P (рис. 54). Ввиду осевой симметрии достаточно найти сечение проходящей через ось Z. Прямую, границу среды, примем за ось X.
Найдем сначала каустику для меридиональных преломленных лучей, Уравнение преломленного луча AB будет
Z = -Ctgq(X-Iitgty),
где h — расстояние от точки P до границы среды, ф — угол падения из среды на эту границу, ф — угол преломления. Для бесконечно близкого луча PA'В' углы ф и г|) получат приращения <Лр и tft|>. Приращение координаты г при одном и том же значении абсциссы х при этом будет равно
Рис. 54
каустической поверхности плоскостью, вдоль которой эта плоскость пересекает
dz = x_-htg1 hct^
Sin2 ф т COS3
А|>,
или с использованием закона преломления sin ф = п sin і
X-
dz = -
_zAtil ACtg1COS1 Sin2 ф ^ n COS3T
Координаты xm ж Zm точки Pm, в которой перёсекаются продолжения бесконечно близких меридиональных лучейг AB и ArBri найдутся отсюда, если приращение & приравнять нулю-, Это дает
«cos® f
(14.1) 100 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. II
Это и есть уравнение каустики для меридиональных лучей. Используя его, нетрудно вывести формулу
Im-I*.(14.2)
т п COS2 1|) ' v '
где I — расстояние от предмета P до точки выхода А прелшленного луча, а Im — расстояние меридионального изображения Pm до той же точки.
Еще проще находится каустика для экваториальных лучей. Пусть PAB — один из лучей, исходящих из точки P (рис. 54). Если этот луч вращать вокруг перпендикуляра OP к преломляющей поверхности, то получится конус падающих и соответствующий ему конус преломленных лучей. Вершиной второго конуса будет точка P9, в которой продолжение преломленного луча AB пересекает перпендикуляр PO. Бесконечно малые пучки падающих и преломленных лучей, лежащих на поверхностях указанных конусов, для которых луч PAB является главным, будут, очевидно, расположены в плоскостях, перпендикулярных к плоскости падения луча PAB. Значит, лучи этих Тучков будут экваториальными, а точка P3 — изображением в этих лучах. Таким образом, все фокальные точки экваториальных лучей расположатся на перпендикуляре PO, т. е. каустика таких лучей выродится в отрезок этого перпендикуляра. Расстояние I3 точки Pa от точки выхода преломленного луча AB будет P3A = I sin ip/sin ф, т. е.
I3 = L. (14.3)
Результаты вычислений представлены на рис. 55 для я = 1,5 (стекло). Каустика экваториальных лучей представляется вертикальным отрезком OP', длина которого равна hin. Сечение каустики меридиональных лучей плоскостью
Рис. 55.
рисунка есть кривая BP'А, для которой P' является точкой возврата. Продолжения преломленных лучей, изображенные на рисунке пунктирными прямыми, касаются кривой BP'А. Таким образом, если начертить еще сечение волнового фронта вышедших преломленных лучей, то для этого сечения кривая BP'А будет эволютой. Сама каустика меридиональных лучей получится от вращения этой эволюты вокруг вертикальной прямой PO, для параксиальных пучков геометрические аберрации
101
фокальные точки меридиональных и экваториальных лучей совпадают и получаются в P'. Крайние точки А и В каустики меридиональных лучей получаются от пересечения предельных лучей полного отражения PA к PB с границей среды. Предлагаем читателю начертить каустику меридиональных и экваториальных лучей для случая п < 1.
§ 15. Геометрические аберрации центрированных систем
1. Геометрические аберрации в центрированных системах, т. е. отступления от параксиальной оптики, вызываются непараксиальными пучками лучей, участвующими в образовании оптических изображений. Дадим классификацию таких аберраций.
Произвольный луч в пространстве предметов можно задать, указав прямоугольные координаты у, г и г], ? точек его пересечения с предметной плоскостью (т. е. плоскостью, проходящей через изображаемую точку P перпендикулярно к главной оптической оси) и плоскостью входного зрачка. После прохождения через оптическую систему луч пересечет плоскость параксиального изображения в точке с координатами у', г'. Координаты самого параксиального изображения (называемого в дальнейшем также параксиальным фокусом) обозначим через у'а, z'0. Тогда разности А у' = у' — у',, Az' = z' — Zq и можно принять за меру отступлений оптики реальной системы от предельного случая' параксиальной оптики.
