Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
§ 14. Астигматические пучки лучей. Каустика
1. При наличии непараксиальных лучей, а также при отсутствии осевой симметрии оптической системы (примером может служить цилиндрическая линза) сферическая волна, исходящая из светящейся точки, после прохождения через оптическую систему перестает быть сферической. В результате светящаяся точка уже не будет изображаться оптической системой в виде точки. Связанные с этим искажения оптических изображений называются геометрическими или лучевыми аберрациями оптических систем. Помимо лучевых существуют еще хроматическая аберрация, т. е. появление окрашенных каемок в изображении, когда оно получается в белом свете, а также волновые или дифракционные аберра- J 14] АСТИГМАТИЧЕСКИЕ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ. КАУСТИКА 97
ции, обусловленные дифракцией света. Учет последних необходим при рассмотрении разрешающей способности оптических и спектральных приборов, а также других тонких вопросов, связанных с получением оптических изображений. Однако сначала мы отвлечемся от хроматической и дифракционных аберраций, предполагая, что световые пучки, формирующие изображение, — монохроматические и к ним применима геометрическая оптика.
2. Напомним сначала необходимые сведения из дифференциальной геометрии. Пусть S — какая-то гладкая поверхность, а О — произвольная точка на ней (рис. 53а). Нормаль к поверхности S в точке О обозначим через N. Проведем через N плоскость П, пересекающую поверхность S вдоль некоторой кривой L. Если плоскость П вращать вокруг нормали N в пределах 180°, то кривизна кривой L, вообще говоря, будет изменяться, достигая в каком-то положении L1 максимума, а в другом положении L2 — минимума. В дифференциальной геометрии-доказывается, что нормальные сечения поверхности S максимальной и минимальной кривизны взаимно перпендикулярны. Эти сечения называются главными нормальными сечениями поверхности S, Проходящими через точку О. Линии, ПО Рис 53а. которым они пересекают поверхность S
в окрестности точки О, называются линиями кривизны, а радиусы кривизны последних R1 и R2 — главными радиусами кривизны поверхности S. Если знаки R1 и R2 одинаковы, то линии кривизны обращены вогнутостями в одну и ту же сторону, если разные, то в противоположные стороны. Если в точке О R1 = R2, то эта точка называется точкой закругления поверхности.
3. Пусть теперь поверхность S является волновым фронтом. Возьмем на ней какую-то элементарную площадку dS. Бесконечно узкий пучок лучей волнового фронта, проходящий через эту площадку, называется астигматическим, если главные радиусы кри-.визны R1 и R2 не совпадают между собой. Луч, проходящий через центр площадки dS, называется главным *).
Вообще говоря, две нормали к поверхности S не пересекаются в одной точке. Однако нормали, восстановленные в бесконечно близких точках, лежащих на одной и той же линии кривизны, пересекаются в одной точке (если пренебречь величинами высших порядков малости). Заметив это, возьмем в качестве элемента dS бесконечно малую площадку ABDC, имеющую форму криволиней-
-') При отсутствии симметрии площадки понятие ее центра, строго говоря, теряет смысл. Однако и в этом случае можно указать какую-то, хотя и не совсем четко определенную, точку в середине площадки, которую можно рассматривать как центр последней. - 98
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. I!
ного четырехугольника, сторонами которого служат линии кривизны поверхности 5 (рис. 536). Лучи, лежащие в главных сечениях элемента волнового фронта dS, проходящих через его центр, сходятся в различных точках F1 и F2, называемых фокальными точками] расстояние F1F2 называется астигматической разностью элементарного пучка. Лучи, проходящие через противоположные стороны AB и CD, пересекутся в точках M1 и N1 соответственно. Лучи, исходящие из всякой промежуточной линии кривизны между сторонами AB и CD, сойдутся в какой-то промежуточной точке бесконечно малого отрезка M1N1, проходящего через фокаль-
Рис. 536.
между сторонами BD и АС, пересекутся в какой-то точке другого бесконечно малого отрезка M2N2, проходящего через вторую фокальную точку F2.
Отрезки M1Ar1 и M2N2 называются фокальными отрезками элементарного астигматического пучка лучей, исходящих от элемента волнового фронта ABCD. Если элементарный астигматический пучок лучей исходит из светящейся точки, то фокальные отрезки M1N1 и M2N2 принято называть изображениями этой точки, даваемыми астигматическим пучком, хотя точечного изображения в этом случае и не существует. Если элемент ABCD обладает симметрией прямоугольника, то отрезки M1N1 и M2Af2 будут перпендикулярны между собой, а также к главному лучу пучка. В общем случае это может быть и не так. При бесконечном уменьшении поперечных размеров пучка лучей отрезки MiN1 и M2Ni стягиваются в фокальные точки F1 и F2.
Таким образом, в отличие от гомоцентрического пучка, бесконечно узкий астигматический пучок дает не одно, а два точечных изображения F1 и F2 светящейся точки. Конечный пучок лучей астигматические пучки лучей каустика
99
