Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
__ ?;+? а =PZEF " _?iVГТ' то2)
P--TTW i+??; ' l+pp; • ( -2)
Все скорости по величине не могут превосходить с, а соответствующие им безразмерные величины ?, ?*, ... — единицы. Возникает, однако, вопрос, не может ли в результате (физического) сложения двух скоростей получиться скорость, превосходящая с? Ответ на этот вопрос должен быть отрицательным.
Для доказательства рассмотрим сначала случай сложения параллельных скоростей, когда направления векторов и V совпадают или прямо противоположны. Результирующая скорость в этом случае полностью определяется первой формулой (110.1) или эквивалентной ей первой формулой (110.2). Так как ? и ?i не превосходят единицы, то их можно представить в виде ? = th Ф, ?* = th где аргументы гиперболических Тангенсов ft и могут принимать любые вещественные значения. Тогда первая формула (110.2) запишется в виде
R = tbGj-fthG • ~ 1+thGthGi'
Сравнивая ее с формулой сложения гиперболических тангенсов
th(<K+0) = thd;+lh#,,
v 1+thGthGi
видим, что результирующую безразмерную скорость также можно представить гиперболическим тангенсом ?* = th $х, причем
Ojr = + д. (110.3)
Это значит, что (физическое) сложение параллельных скоростей сводится к алгебраическому сложению аргументов соответствующих им гиперболических тангенсов. Но при любых значениях аргументов гиперболический тангенс по абсолютной величине не может превосходить единицы. Следовательно, каковы бы ни были (параллельные) скорости составляющих движений, при их (физическом) сложении не может получиться скорость, превосходящая с. Если одна из складываемых" скоростей равна с, то при сложении ее с любой другой скоростью получится также с. В этом и проявляется специфичность скорости света как предельной скорости, которую нельзя превзойти, сколько бы ни ускорять движение тела.
Для завершения доказательства остается исследовать случай, когда складываемые скорости взаимно перпендикулярны. Без ограничения общности можно считать, что скорость v' направлена 5 но)
сложение скоростей в теории относительности
667
вдоль оси Y'. Тогда, полагая в формуле (110.2) ?* = ?* = 0, получим ?*=?, ?« = 0. Квадрат (безразмерной) скорости в системе 5 будет
(т)9=?-+?^=?2+?;a -?2).
Придав ? постоянное, но произвольное значение, будем рассматривать величину (и/с)2 как функцию аргумента ?^2. Производная этой величины (1 — ?2) Ss 0, а потому функция (о/с)2 возрастает с возрастанием (?2. Она достигает максимума при ?'y2 = 1, который равен 1. При всех остальных значениях ?'y отношение {vie)2 не может превосходить единицы. Это и доказывает, что при сложении перпендикулярных скоростей также не может получиться скорость, превосходящая с.
3. Когда складываемые скорости параллельны, то индекс х можно опустить и написать
(110-4>
Если V с, то в этой формуле можно ограничиться первыми степенями по V. В этом приближении
+ V)\l - к* V' + (l - -?-2) (110.5)
Применим последнюю формулу к распространению света в жидкости, равномерно движущейся со скоростью V. Скорость света относительно неподвижной жидкости будет о' = с/л, где п — показатель преломления жидкости. Предполагая, что свет распространяется в направлении течения жидкости, найдем его скорость v относительно «неподвижной» системы отсчета. Для этого подставляем в формулу (110.5) v' Ic = Mn и находим
" = 1 + (1 (110"6)
Формула (110.6) была получена еще Френелем в 1818 г. Он исходил из представления, что эфир увлекается движущимися телами, однако не полностью, а частично. Лорентц в электронной теории вновь пришел к формуле (110.6). Но истинный смысл ее был установлен только в теории относительности.
Формула (110.6) была экспериментально подтверждена Физо в 1851 г. Схема его опыта в усовершенствованном виде, какой ему придал Майкельсон в Л886 г., показана на рис. 336. Луч от источника 5 раздваивается разделительноі^пластинкой Р. Один луч на Рис. 336 изображен сплошной, а другой — пунктирной линией. Зат€м лучи проходят через трубки, в которых течет вода. Один луч идет в направлении, а другой против течения воды. Из-за различия 668
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IX '
скоростей лучей относительно неподвижных стенок трубки между ними при выходе из прибора возникает разность хода, изменяющаяся •с изменением скорости течения V. Сначала наблюдается интерференция между лучами при неподвижной, а затем при текущей воде.
TIo смещению интерференционных полос можно измерить разность хода, возникающую при течении, а по ней и разность скоростей V — dn.
4. Лоренга в электронной теории обобщил формулу (ПО.6), учтя дисперсию света. Формулу Лорентца легко получить и в теории относительности. Надо только учесть допплеровское изменение длины волны, возникающее при течении воды. Обозначим через X длину световой волны (в вакууме) в «неподвижной» системе отсчета S, а через Х-\- 6Х— в системе S', относительно которой вода неподвижна. Допплеровское изменение длины волны 8Х в первом порядке по V определяется -выражением
X v' с
Следовательно,
dv' Vn
V' (X + bX) = V ?)+^?
