Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Ai-A2 = Inv. (111.4)
Если какой-либо закон природы записан в четырехмерной векторной форме (A, Ax) = (В, Bx), то он лорентц-ковариантен, так как обе части написанного равенства при преобразовании Лорентца преобразуются одинаково. Четырехмерная векторная форма эквивалентна двум уравнениям: А = В и Ax Bx. Этим замечанием мы и воспользуемся для решения поставленной задачи. Именно, мы постулируем, что закон сохранения импульса и энергии можно записать в виде равенства четырехмерных векторов. Задача состоит в том, чтобы найти вид этих векторов. S 111]
релятивистская механика
671
3. Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью v относительно неподвижной системы отсчета S. Пусть dr — ее перемещение за время dt = dxlc. Эти величины, образуют четырехмерный вектор (dr^ с dt). Очевидно, он останется- четырехмерным вектором и после умножения его составляющих на одну и ту же постоянную. Возьмем в качестве таковой m0ldt0, где т0 — некоторая постоянная, а dt0 — dt'|/ 1 — V2Ic2t — собственное время, которое, как известно, является инвариантом. Тогда получим четырехмерный вектор
mO (S-cS=m^c)-. (Ш-5>
т = ¦ (111.6)
где введено обозначение
Допустим теперь, что частица движется медленно, так что величиной V2Ic2 можно пренебречь. Возьмем в качестве т0 массу частицы, как она определяется в нерелятивистской механике. Тогда пространственная составляющая четырехмерного вектора (111.5) будет m0v. Вектор m0v в ньютоновской механике называется импульсом. Поэтому в релятивистской механике естественно определить импульс выражением
P = mv = -7^=, (111.7)
/ !-«а/с* , 4 '
поскольку в пределе при малых скоростях оно переходит в нерелятивистское выражение m0v. Величина т0 называется массой покоя, am — массой движения или релятивистской массой. Таким образом, (Р, тс) есть четырехмерный вектор, а величина (тс)2 — P2 — его инвариант. Значение этого инварианта легко найти: при v = 0 он обращается в (т0с)2, а потому
(тс)2 -P2 = (т0с)2. (111.8)
Остается выяснить физический смысл временной части четырехмерного вектора (111.5). Для этого замечаем, что dP/dt есть сила, действующая на частицу. Работа этой силы на перемещении v dt равна dA = v dP = P dPlm или на основании (111.8) dA = с2 dm. Энергия частицы найдется интегрированием этого выражения по т. Если постоянную интегрирования положить равной нулю, то получится "формула
Ш = тс2 = -Г.^=-. (111.9)
Vl-V2Ic2 V '
Величина Ш называется полной энергией частицы. Для покоящейся частицы т = т0, так что (111.9) переходит в
S0 = т0с2. (111.10)
Величина ё0 называется энергией покоя частицы. 672
теория относительности
[гл. Ix '
Формула (111.9), впервые в общем виде полученная Эйнштейном, устанавливает взаимосвязь между массой и энергией. Кинетическая энергия частицы определяется выражением
К. = Ш — Ш0 = (т — т0) Ct. (111.11)
При медленных движениях это выражение переходит в обычную формулу К = 1Um0Vi.
Импульс и энергия теперь объединены в четырехмерный вектор
(P, тс) = (Р, Ш/с), (111.12)
называемый вектором импульса — энергии. Его инвариантом относительно преобразования Лорентца является
(IJ -P* = (т0с)* = Inv. (111.13)
Тем самым в теории относительности законы сохранения импульса и энергии перестают быть независимыми законами, а объединяются в единый закон сохранения четырехмерного вектора импульса — энергии. Его называют также законом сохранения импульса — энергии.
Остается ответить на два вопроса. Во-первых, почему при вычислении работы сила была определена так же, как в нерелятиВист-ской механике, т. е. как производная dP/dt? Во-вторых, почему энергия всегда определяется с точностью до несущественной произвольной постоянной, здесь же она определена однозначной Ответ на оба вопроса, в сущности, один и тот же. Он состоит в том, что на величину S, вычисленную выше и названную полной энергией, было наложено требование, чтобы она (после деления на с) была временной компонентой четырехмерного вектора (111.5). Если энергию не определить однозначно, то она этому требованию удовлетворять не будет.
Для системы невзаимодействующих частиц, а также частиц, взаимодействующих только при столкновениях, четырехмерный вектор импульса — энергии определяется как сумма четырехмерных векторов импульса — энергии этих частиц. При этом в теории относительности достигается однообразная трактовка упругих и неупругих столкновений. Независимо от характера столкновения сохраняется трехмерный вектор импульса системы. Следовательно, должна сохраняться и энергия, как (умноженная на с) временная компонента четырехмерного вектора. Вместе с энергией сохраняется и релятивистская масса. Только при упругих и неупругих столкновениях она по-разному распределяется между массой покоя и массой, связанной с кинетической энергией макроскопического движения. Например, при столкновении двух одинаковых неупругих шаров, движущихся с одинаковыми скоростями навстречу друг другу, исчезновение, кинетической энергии макроскопического движения $ illj
релятивистская механика
