Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
или
> п I SH '/11, d ( с \ vn^ с X dn ,,
В формуле (110.5) под v' надо понимать, конечно, не v' (X), a v' (X + 6Х), При этом второе слагаемое в правой части (110.5) в рассматриваемом приближении следует оставить без изменения. В результате получим
+ (110.7)
п ' \ я2 п dX]
Наличие добавочного члена, обусловленного дисперсией, было экспериментально подтверждено Зееманом в 1914 ,г.
Нелишне подчеркнуть, что допп^ровское изменение длины волны относится к системе отсчета S', в которой вода неподвижна. Течение воды не сказывается на длине волны в «неподвижной» системе S, так что оба интерферирующих луча при выхоДе из прибора (рис. 336) имеют одну и ту же длину волны, Только благодаря этому и возможна интерференция. § 111]
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
669
§ 111. Релятивистская механика
1. Если какой-либо закон природы представлен в виде А = В, причем при переходе от одной системы отсчета к другой величины А и В остаются неизменными, то эти величины и самый закон называются инвариантными относительно этого перехода. Более общим является понятие ковариантности. Если при переходе от одной системы отсчета к другой величины А и В хотя и не остаются неизменными, но преобразуются одинаково, то закон A = B сохраняется и в новой системе отсчета. В этом случае говорят, что закон A = B ковариантен относительно рассматриваемого преобразования систем отсчета. Часто термин «инвариантность закона» употребляют в смысле его ковариантности.
До теории относительности допустимыми считались только галилеевы преобразования координат. Относительно этих преобразований уравнения механики Ньютона были ковариантны (инвариантны), тогда как уравнения электродинамики Максвелла—Лорентца — не ковариантны. Теория относительности показала, что от галилеева преобразования надо отказаться и заменить его преобразованием Лорентца. Тогда принцип относительности требует, чтобы законы природы были ковариантны относительно преобразования Лорентца. Этому требованию уравнения электродинамики удовлетворяют, а уравнения механики Ньютона не удовлетворяют. Поэтому механика Ньютона должна быть изменена.
В ньютоновской механике сила, действующая на тело в какой-то момент времени, определяется положением всех взаимодействующих тел в тот же момент. Но в теории относительности понятие «тот же момент времени» зависит от выбора системы отсчета. Невозможно автоматически преобразовать каждый закон сил ньютоновской механики в лорентц-ковариантную форму. Допустимы .только такие теории, из которых может быть исключено понятие действия на расстоянии. Такая возможность существует в теории столкновений. Последняя исходит из идеализированного представления, что взаимодействие имеет место только в продолжение того промежутка времени, когда расстояние между телами или точечными частицами бесконечно мало по сравнению с размерами самих тел или другими характерными расстояниями, определяющими характер процессов столкновения. До и после этого бесконечно малого промежутка времени тела движутся свободно. К процессам столкновений применимы законы сохранения импульса и энергии, но им надо придать лорентц-ковариантную форму. Это и является целью настоящего параграфа. Дальнодействие можно исключить также при рассмотрении движения электрически заряженных частиц в электромагнитных полях. Однако изложение относящихся сюда вопросов электродинамики потребовало бы слишком 670
теория относительности
[гл. ix '
много места, а потому мы ограничимся только рассмотрением процессов столкновения.
2. Для решения поставленной задачи проще и логичнее всего воспользоваться понятием четырехмерного вектора (или, короче, 4-вектора) в пространстве Минковского. Каждое «точечное» событие в таком пространстве характеризуется совокупностью четырех координат X, у, г, т = ct. При переходе от системы отсчета S к системе отсчета S' разности координат двух точек преобразуются по формулам
Д;с, = д*-|Лт Ау> = Ау> дг' = д2) ДТ' = (111.1)
/ l_?2 ' а /l-?2
как это следует из (105.12). Напомним, что квадрат интервала между рассматриваемыми точками есть инвариант;
АТ2-ДХ2-ЛІ/2-А22 = іпу. (111.2)
Мы воспользовались частным преобразованием Лорентца (105.12), в котором предполагается, что координатные оси X, Y, Z параллельны осям X', Y', Z', а система S' движется относительно S вдоль оси X. Можно было бы взять любую ориентацию осей и любое направление движения, но это только усложнило бы запись, Ничего не меняя по существу.
Назовем четырехмерным вектором совокупность четырех величин Ax, А у, Аг, Ax, которые при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуются так же, как разности координат двух точек в пространстве Минковского, т. е.
л/ Ax-PAf &',—А А',—А А', = ііиМ*. /111 о\
х J?rT?3 ' У ЛУ г г' Ах VTqjS' Ilu-dJ
Величины Ax, Ay, Az называются пространственными, а Л, — временной составляющей четырехмерного вектора. Пространственные составляющие мы объединим в обычный трехмерный вектор А и будем обозначать четырехмерный вектор через (A, Ax). Из тождественности законов преобразования (II 1.1) и (111.3) следует, что четырехмерный вектор (A, Ax) обладает инвариантом:
