Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
г,- = опр1х dt.
190
МОЛЕКУЛ ЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ: V
Дальнейший ход вычислений зависит от характера взаимодействия ударяющихся молекул со стенкой. Обычно при вычислениях считают, что стенка гладкая, а молекулы при ударе отражаются от нее зеркально, т. е. по законам удара идеально упругих шаров: абсолютная величина скорости при отражении не изменяется, угол падения равен углу отражения. Затем доказывается, что эти предположения не являются существенными. Однако в действительности стенка сосуда для ударяющейся молекулы не может быть идеальным зеркалом — ведь она сама состоит из молекул. Благодаря этому молекулы г-й группы после отражения будут иметь, вообще говоря, самые разнообразные по величине и направленню скорости, направленные от стенки, и распределятся по различным скоростным группам. Поэтому мы проведем дальнейшие вычисления, не вводя никаких специальных предположений относительно законов отражения молекул от стенки сосуда. Единственное предположение, которое будет и -пользовано в вычислениях, состоит в том, что при отражении от стенки молекула в среднем не теряет и не приобретает кинетическую энергию. В дальнейшем будет показано, что это предположение означает, что температура газа должна быть равна температуре стенки. Для целей вычисления процесс взаимодействия молекулы со стенкой удобно мысленно разбить на два этапа. На первом этапе молекула замедляется и останавливается, как бы прилипая к стенке. На втором этапе молекула отталкивается стенкой, ускоряется и отскакивает от нее. Вычислим сначала силу F\, которая действовала бы на площадку о со стороны газа, если бы весь процесс взаимодействия молекул газа со стенкой ограничивался только первым этапом, т. е. в предположении, что после ударов молекулы газа как бы прилипают к стенке. Молекулы /-й группы, ударившиеся о площадку сг за время dt, до удара обладали количеством движения г,/?, == = OniVi_ypjdt, где р, — количество движения одной молекулы. Чтобы остановить эти молекулы, стенка должна действовать на них с силой/}, импульс которой равен f[dl —mpixp,dt. Изменив направление вектора ff на противоположное, мы найдем силу ft - — ff впрілі, с которой действуют на площадку о молекулы t-й группы на первом этапе. Сила F,, действующая на эту площадку со стороны всего газа, найдется суммированием этих выражений но всем группам молекул, летящих по направлению к стенке (для них vix > 0), т.е.
Fl = Vj On-fltxPi.
їх
К силе следует прибавить силу F\, которая действует на площадку о на втором этапе. Сила F., вполне аналогична силе отдачи, испытываемой орудием при выстреле. Роль снаряда играют молекулы, летящие от площадки о, т. е. молекулы, для которых vix < 0.
ДАВЛЕНИЕ ГАЗА
191
Сила F2 равна
1-і ontvixpt.
V. <' U IX '
Разделение взаимодействия на два этапа, конечно, является только искусственным вычислительным приемом. На самом деле силы Р\ и F., действуют одновременно и складываются в одну результирующую силу
/ F, + f > -- а У] tiiVixpi.
Здесь суммирование производится уже по всем группам молекул, летящим как к стенке, так и от нее.
Сила F направлена нормально к площадке а. Это является следствием хаотичности теплового движения молекул. Действительно, составляющая силы F в направлении оси Y равна
= e ^пгоіхріу.
Ввиду хаотичности теплового движения среди слагаемых входящей сюда суммы встретится примерно столько же положительных членов, сколько и отрицательных. В среднем положительные слагаемые будут скомпенсированы отрицательными, так что сумма обратится в нуль. То же справедливо и для составляющей Рг. Этого не будет только для нормальной составляющей Fx, представляемой суммой
¦Рл = ^Yi>hvixpix,
все члены которой существенно положительны, так как знаки
проекций vix и Р(х всегда одинаковы. Разделив слагающую Гх
на площадь а, получим давление газа на стенку сосуда:
р = ^ n,vixpix.
Это выражение можно упростить, если ввести среднее значение произведения vxpx. Сумма таких произведений для молекул газа, находящихся в единице объема, равна ^ Пі~оіхріх. Чтобы найти среднее, надо эту сумму разделить на общее число молекул п в единице объема. Это дает
(vxpx) = \ ^ thVixPix (59,1)
(угловые скобки означают усреднения по совокупности всех молекул). Давление Р теперь можно представить в виде
P = n{vxpx). (59.2)
По определению скалярного произведения
W = vxpx + VyPy + vzpx.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. V
Усредняя это соотношение, получим
(vp) = (l'xp.x) + (VyP.i) + (v,Pz)-
При хаотическом движении, каковым является тепловое движение молекул газа, все направления скоростей молекул равновероятны, а потому .
<VxP.r) = (VuPy) = (l’.cPz) = 3- (vp). (59.3)
Это дает
Если объем сосуда, в котором заключен газ, равен V, а полное число молекул в этом объеме равно N, то п = N/V. Подставляя это значение в предыдущую формулу, получим
4. При выводе формул (59.4) и 59.5) не учитывались столкновения молекул друг с другом. Для не слишком плотных газов меж-молекулярные столкновения практически не влияют на окончательный результат. При столкновениях молекулы переходят лишь из одной скоростной группы в другую. Состав каждой скоростной группы поэтому быстро и непрерывно меняется. Но для вычисления давления Р несущественно, какие именно индивидуальные молекулы входят в каждую скоростную группу. Существенны лишь средние числа молекул в группах. Если состояние газа — установившееся, что должно предполагаться при выводе формул (59.4) и (59.5), то среднее число молекул в каждой из скоростных групп остается неизменным. Остается в среднем неизменной и сумма 2]/;,- (V;Pi), а с ней и давление газа Р.
