Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
1
И д j ПЦЩ,
где mt — масса, а и{ — скорость молекулы поршня в направлении оси X. (Вместо и і было бы логичнее писать иіх, но мы опускаем индекс х, чтобы не загромождать формулы.) Возведя в квадрат, получим
1/2Ми2 = ~ 2 mimilliui-
Усредним это соотношение по времени. Ввиду хаотичности теплового движения молекул поршня (UjUj) = 0 При І Ф /. В предыдущей сумме надо учитывать только слагаемые с і = j. В результате получится
1І2М(и2) = ~Утї(іґї). (63.2)
По доказанному выше V2 М (и2) = 1/2кТ, следовательно,
(u]) = V?T. (63-3)
Допустим теперь, что все молекулы поршня, а потому и все массы mit одинаковы. Тогда (uf) = Ntrij (iifi), где N = — общее
число молекул поршня. В результате находим
1/2mi (uf) = 42kT. (63.4)
Таким образом, и для молекул поршня имеет место равномерное распределение кинетической энергии по степеням свободы: на каждую поступательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия l/2kT. Разумеется, это справедливо не только для энергии движения вдоль оси цилиндра, но, ввиду хаотичности теплового движения, также и для энергии движения молекулы в любом направлении. Введенное при выводе предположение об' одинаковости молекул поршня не играет роли.
5. Приведенное рассуждение позволяет снять ограничение, наложенное в предыдущем параграфе на плотности газов. Действительно, возьмем в качестве поршня сколь угодно плотный газ, заключенный между двумя твердыми стенками. К молекулам газа применим результат (63.4). Это показывает, что для справедливости теоремы о равномерном распределении кинетической .энергии
§ 63] РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 205
по степеням свободы предположение о малости плотности газов совершенно не существенно.
6. Несущественно также и то обстоятельство, что телом, к которому относилось приведенное рассуждение, является поршень. Для любого тела, если оно находится в состоянии теплового равновесия, на каждую поступательную степень свободы приходится в среднем одна и та же кинетическая энергия г12кТ. Используя эту теорему и проводя рассуждения, приведшие нас к формуле (63.2), в обратном порядке, можно получить новый существенный результат. Пусть произвольное макроскопическое тело находится в жидкой или газообразной среде, в которой оно может свободно двигаться в любом направлении. Можно предположить, что сила тяжести и другие силовые поля отсутствуют. Можно также предположить, что тело удерживается в положении равновесия какими-либо силами, например архимедовой подъемной силой, упругой силой пружины и т. п. Во всех этих случаях центр масс тела должен совершать беспорядочные тепловые движения, для скорости V которых можно написать
В приведенном ранее рассуждении считалась известной левая часть этого равенства. Теперь, наоборот, известна правая часть и нужно найти левую. Так как молекула имеет три поступательных степени свободы, то 1/2mi (vj) — s/2kT, а потому
Таким образом, на поступательное движение центра масс макроскопического тела в среднем приходится та же энергия a/2kT, что и на поступательное движение одной молекулы. В этом отношении всякое макроскопическое тело ведет себя как гигантская молекула.
Видно, что н на вращение тела как целого вокруг неподвижной оси при тепловом равновесии приходится в среднем кинетическая энергия l/2kT. Чтобы это доказать, достаточно заметить, что угловая скорость вращения тела Q вокруг неподвижной оси равна моменту количества движения тела, деленному на его момент инерции I относительно той же оси, т. е.
Это дает
(63.5)
где и{ — составляющая скорости t-й молекулы, перпендикулярная
206 МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. V
к оси вращения и к радиусу-вектору гг. По аналогии с формулой
(63.2) получаем
1ит=4г2т!г!(и1)'
ОТКУДа vm,rj
yj (Q*) = 42kT-1^ = 1/zkT.
7. Приведенные рассуждения могут рассматриваться как убедительные аргументы, доказывающие классическую теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и разъясняющие ее смысл в частных случаях. Приведем теперь без доказательства общую формулировку этой теоремы. Предварительно напомним некоторые сведения из классической механики.
В классической теории атомы рассматриваются как материальные течки, а всякое макроскопическое тело — как система материальных точек. Если число материальных точек в системе равно N я па систему не наложены никакие дополнительные связи, ограничивающие свободу ее движения, то требуется 3N координат, чтобы однозначно задать положение всех точек системы. Классическая теория, однако, пользуется и такими механическими моделями, в которых на движение материальных точек наложены определенные ограничения — связи. При наличии связей число независимых координат, заданием которых однозначно определяется конфигурация, т. е. положение всех точек системы, уменьшается. В качестве таких независимых координат можно взять те прямоугольные координаты материальных точек, через которые выражаются все остальные координаты. Число этих независимых координат / называется числом степеней свободы системы. Не обязательно пользоваться прямоугольными координатами. Можно взять f любых других величин qu q2, ..., qf, однозначно определяющих конфигурацию системы. Они называются обобщенными координатами, а их производные по времени qlt q2, qf— обобщенными скоростями.
