Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
211
Проверка молекулярно-кинетического объяснения броуновского движения и вычисление из этого явления постоянных k и N стали возможными лишь после того, как в 1905 г. Эйнштейн разработал математическую теорию броуновского движения, в которую мгновенная скорость броуновской частицы не входит. Вместо нее входит длина прямолинейного отрезка, соединяющего положение частицы в два различные момента времени, — величина, доступная измерению на опыте. Любопытно отметить, что при разработке своей теории Эйнштейн ничего не знал о существовании броуновского движения. Он предсказал это явление и построил его полную количественную теорию. Польский физик Мариан Смолуховскнй (1872—1917) в 1906 г. независимо от Эйнштейна также построил количественную теорию броуновского движения, хотя его окончательная формула и является приближенной — она отличается от формулы Эйнштейна численным коэффициентом порядка единицы. Приведем здесь упрощенный вывод формулы Эйнштейна. В § 93 будет приведен другой вывод, близкий к выводу самого Эйнштейна.
3. Будем считать, что броуновская частица имеет форму шарика радиуса а. Рассмотрим движение ее в жидкости. Если небольшой шар радиуса а равномерно движется в жидкости со скоростью V, то, как показывают опыт и теория, на него действует сила сопротивления F, пропорциональная скорости V. Коэффициент пропорциональности в формуле
V = BF (64.1)
называется подвижностью частицы. Для шарообразной частицы подвижность была теоретически вычислена Стоксом (1819—1903), который нашел 1 , „
В=Щ-а’ t64*2)
где т] — коэффициент внутреннего трения жидкости. Таким образом, подвижность сферической частицы обратно пропорциональна ее радиусу. Она может быть измерена по скорости установившегося движения частицы под действием силы тяжести (точнее, под действием разности силы тяжести и архимедовой подъемной силы). Достаточно измерить подвижность для какой-либо одной крупной частицы. Если радиус ее равен а0, а подвижность В0, то подвижность
частицы радиуса а найдется по формуле В =-^~ В0.
Уравнение движения броуновской частицы в направлении
оси X имеет вид і
Мх = — -Ё * + Х.
Первое слагаемое в правой части есть регулярная сила трения, обусловленная движением броуновской частицы со скоростью х. Второе слагаемое X учитывает беспорядочно действующие толчкиt
212
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. V
которым подвергается броуновская частица со стороны окружающих молекул. В сущности, и первое слагаемое — сила трения — также обусловлено толчками молекул. Однако, если частица уже движется, то в среднем толчки, действующие против движения, сильнее толчков, действующих в направлении движения. Это обстоятельство и учитывается слагаемым —х/В. Слагаемое же X есть сила толчков, которая действовала бы на частицу, если бы она была неподвижна. Среднее значение такой силы равно нулю.
Умножим предыдущее уравнение на х и преобразуем его, пользуясь следующими тождествами:
~ х2 — 2хх; ~х2 = 2х2 + 2хх.
Получим
М~х2 + ^х2~2Мх2 = 2Хх.
Будем отсчитывать координату х от положения частицы, которое она занимала в момент времени t = 0. Напишем предыдущее уравнение для каждой из множества тождественных броуновских частиц, сложим и разделим на число всех частиц. Короче говоря, усредним предыдущее уравнение по всем частицам. Ввиду хаотичности молекулярного движения (Хх) = 0. Далее, согласно формуле (63.5), (Мх1) = kT. Поэтому
м % <*2>+ііі <*2> - Ш=°- <64' 3>
4. Нет необходимости решать это уравнение в общем виде. Логичнее пойти по более короткому пути. Докажем, что средний квадрат смещения броуновской частицы (х2) пропорционален времени t. Для этого заметим, что все положения броуновской частицы и все моменты времени совершенно равноправны. Отсюда следует, что смещение броуновской частицы за время /2 — /, между двумя моментами времени tt и t2 есть случайная функция только разности 4 — tlt не зависящая ни от tlt ни от (2. Слово «случайная» означает, что эта функция еще не определяется значением аргумента /2 — tv При одном и том же значении tz — tt смещение частицы может принимать любые значения, но с различной вероятностью. Аргументом 4 — /, определяются не сами смещения, а их вероятности. Смещения мы будем обозначать Xt,-t„ т. е. будем писать аргумент (., — U в виде индекса. Ясно, что сумма смещений частицы за два последовательные промежутка времени — от 0 до t и от / до t + т — равна смещению ее за время от 0 до t + т, т. е.
Xt+x~ Xt-\-Xx.
Возведем это соотношение в квадрат, усредним и примем во внимание, что (х.Хг) = 0. Тогда получим
«+,>=«>+«.
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
213
Усредненная величина (хї) есть, очевидно, обычная регулярная функция аргумента t, однозначно определяющаяся значением этого аргумента. Обозначая ее / (t), запишем предыдущее соотношение
В ВИДе f(t + r) = f(t) + f(т).
Из этого функционального уравнения следует, что f (/), т. е. (хї), есть линейная однородная функция времени t, что и требовалось доказать. Доказанное, очевидно, справедливо для броуновских частиц любой формы, а не только сферических. Итак, должно быть (х2) = At. Постоянная А определится подстановкой этого выражения в уравнение (64.3). В результате получится
