Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(ф2) = 4,18-10-6.
Пользуясь ими, находим
, f . 2Ч 9,43- 10-16- 4,18- 10-е
*=Т<Ф2> =------------287-------=
= 1,38-10-23 Дж/К = 1,38-10 16 эрг/К.
R
Это дает для числа Авогадро N = 6,02- 1023 моль'1.
216
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. V
§ 66. Классическая теория теплоемкости идеальных газов
1. Классическая теория теплоемкости основана на предположении, что к атомно-молекулярным системам применимы законы классической ньютоновой механики. В действительности применимость ньютоновой механики к атомно-молекулярным системам ограничена. По этой причине классическая теория не смогла дать полного удовлетворительного решения проблемы теплоемкости II была заменена более общей квантовой теорией. Однако во многих случаях классическая теория приводила к удивительно хорошему согласию с опытом. Причина этого в том, что классическая теория является приближенным предельным случаем квантовой и, следовательно, имеет определенную область применимости. В пределах этой области выводы классической теории практически не отличаются от выводов квантовой. Мы начинаем изложение с классической теории. Она проще квантовой. При таком порядке изложения отчетливее выявятся принципиальные затруднения классической физики, преодоление которых привело к замене классических представлений квантовыми.
Для классических систем справедлива теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. На основе этой теоремы можно построить классическую теорию теплоемкостей газов и твердых тел. Начнем с теплоемкости газов. В § 24 было показано, что для идеальных газов
CV = ~Ty СР = У^Ь-у (66Л>
Отсюда видно, что адиабатическая постоянная у однозначно определяет обе теплоемкости СР и Cv идеального газа. Поэтому для сопоставления теории с опытом достаточно сравнивать между собой опытные и теоретические значения только адиабатической постоянной у.
Внутренняя энергия газа состоит из кинетической энергии поступательного, вращательного и внутреннего движения молекул и атомов, а также из потенциальной энергии их взаимодействия. Для идеальных газов, когда молекулярные силы пренебрежимо малы, потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь.
2. Теплоемкость одноатомных газов. Будем рассматривать молекулы одноатомного газа как материальные точки. Они могут совершать только поступательные движения. Вся внутренняя энергия газа сводится к кинетической энергии поступательного движения атомов. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на один атом, равна 3/30 = 3!3kT. Для внутренней
§ 66] КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 217
энергии одного моля газа получаем
U = N ¦s/s*7 = s/*/?7, (66.2)
где N — число Авогадро. Отсюда находим молярную теплоемкость при постоянном объеме:
CV = dU/dT = S/2R 12,5 Дж/(К ¦ моль) ^ 3 кал/(К ¦ моль) (66.3)
и при постоянном давлении:
СР = CV+R = 5/2R 20,8 Дж/(К ¦ моль) я» 5 кал/(К • моль). (66.4)
Показатель адиабаты
Y = СР/С v = 5/3 = 1,67. (66.5)
Для одноатомных газов экспериментальные значения у приведены в табл. 3. Согласие с экспериментом очень хорошее.
Таблица 3
Г аз т, К V
Hg 527 1,666
J 290 1,660
\ 93 1,673
Ne 292 1,64
Аг j 288 \ 98 1,65 1,69
3. Теплоемкость двухатомных газов. В качестве модели молекулы двухатомного газа принимают две материальные точки 1 и 2, жестко связанные друг с другом (рис. 47). Такая модель напоминает гантель. Для определения ее положения в пространстве достаточно задать пять независимых координат. Действительно, положение первой материальной точки можно задать ее прямоугольными координатами хи ух, гг; положение второй — прямоугольными координатами х2, у2, г2. Эти шесть величин, однако, не независимы, а связаны соотношением
(*2 — -vj)2 + (іУ2 — ?/і)2 + (^2 — ^і)2 = їм = const,
которое означает, что расстояние /12 между точками 1 и 2 остается неизменным. Получается, таким образом, пять независимых координат. Значит, наша модель двухатомной молекулы имеет пять степеней свободы.
В классической теории нет необходимости конкретизировать координаты, определяющие конфигурацию молекулы. Надо знать
218
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. V
только среднюю кинетическую энергию всей молекулы. А для ее вычисления можно воспользоваться общими формулами (63.8) и
(63.9). Они показывают, что средняя кинетическая энергия молекулы равна 1/2fkT, где f — число степеней свободы молекулы (для двухатомной молекулы / = 5). Для целей квантовой теории теплоемкостей необходимо, однако, распределить полную кинетическую энергию молекулы по вполне определенным степеням свободы. Удобно в качестве обобщенных координат взять три прямоугольные координаты центра масс двухатомной молекулы
и два угла, определяющие направление оси 12. Кинетическая энергия молекулы слагается из кинетической энергии поступательного движения ее центра масс и кинетической энергии вращения вокруг него:
Екш = г/2пю2 + Ч21(л2.
Здесь / — момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через 0 перпендикулярно к прямой 12. Разлагая о и to на их компоненты, представим Ешн в виде суммы пяти членов:
