Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
202
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. V
электрона е = 1,60 • 10 19 Кл, то 1 эВ = 1,6 -10 19 Дж = 1,6 * 10 12 эрг. Используя значение постоянной Больцмана, отсюда получаем
bB=wS=1’I6-104K-
Тысяча электронвольт называется килоэлектронвольтом. Температурь^ развивающиеся в момент взрыва атомных и водородных бомб, порядка 10 кэВ ss 108 градусов. Примерно до таких же температур надо нагреть плазму, т. е. проводящий ионизованный газ, чтобы в ней начались термоядерные реакции. Так называются процессы слияния или распада атомных ядер, обусловленные их взаимными столкновениями при сверхвысоких температурах.
ЗАДАЧИ
1. Сколько молекул находится в одном грамме воды?
Ответ. 3,34-1022.
2. Сколько молекул находится в одном кубическом сантиметре воздуха при нормальном давлении и температуре 0 °С?
Ответ. 2,7• 1019.
3. Допустим, что все молекулы воды в стакане как-то отмечены. После этого вода была вылита в водопроводный сток. По прошествии длительного времени вылитая вода равномерно перемешалась со всей водой, имеющейся на Земле. Какое количество отмеченных молекул окажется в стакане, если его вновь наполнить водопроводной водой?
Ответ. — 104.
§ 63. Равномерное распределение кинетической энергии по степеням свободы
1. Формулы (62.1), (62.2) и (62.3) показывают, что в состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия движения поршня вдоль оси цилиндра равна средней кинетической энергии движения молекулы газа в том же направлении. Поршень, если отвлечься от его молекулярного строения, является механической системой с одной степенью свободы — его положение определяется одной координатой х. Молекула, если также отвлечься от ее внутреннего строения, имеет три поступательных степени свободы — ее положение в пространстве можно задать тремя координатами х, у, г. Ввиду хаотичности теплового движения все направления скорости молекулы равновероятны. Кинетические энергии движения молекулы вдоль координатных осей X, Y, Z в среднем одинаковы. Таким образом, в состоянии теплового равновесия на каждую поступательную степень свободы молекулы и поршня приходится одна и та же средняя кинетическая энергия. Ее легко найти, заметив, что полная кинетическая энергия молекулы, согласно формуле (62.5), есть єпост = 3/а6 = 3/2кТ. Эта энергия равномерно распределяется по трем степеням свободы молекулы. Поэтому
§ 63] равномерное распределение кинетической энергии 203
на одну поступательную степень свободы молекулы в среднем приходится кинетическая энергия екип = х/20 = 1 l2kT.
2. При выводе предполагалось, что поршень может двигаться вдоль оси цилиндра совершенно свободно. Однако для окончательного результата это несущественно. Можно представить себе, например, что поршень удерживается в положении равновесия пружиной. В состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия поршня по-прежнему будет равна 1/2kT. Действительно, собственный период колебаний поршня на пружине очень велик по сравнению с длительностью столкновения молекулы с поршнем. Поэтому наличие пружины никак не влияет на акт столкновения молекулы с поршнем — последний ведет себя так, как если бы он был свободным. Однако при наличии пружины поршень будет обладать также потенциальной энергией, испытывающей быстрые и нерегулярные изменения под действием ударов окружающих молекул. Предположим, что сила — квазиупругая, т. е. пропорциональна смещению поршня из положения равновесия. Найдем для этого случая среднее значение потенциальной энергии поршня при тепловом равновесии. Пусть а — коэффициент упругости пружины. Свободные колебания поршня будут гармоническими: х = a cos (со/ (S) с круговой частотой со = У о.! М- Потенциальная энергия поршня
е„от = Xl-p.x2=1/2аа2 cos2 (со/ -f 6),
кинетическая
єкин = 7г Мх2 = 1/2Мй2со2 sin2 (со / -f- б) = 1/2ас2 sin2 (со/ + 6). Запишем эти выражения в виде
Єпот = 1/i^a2 [1 -f cos 2 (со/ + 6)],
Єкин = 'Uaa2 [1 — cos 2 (со/ + 6)].
Косинус с равной вероятностью принимает как положительные, так и отрицательные значения и при усреднении обращается в нуль. Поэтому
^пот ~ ^кнн " ^/орса2- (63.1)
Отсюда (єпо1) = l/2kT. Таким образом, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Если сила, удерживающая поршень, не квазиупругая, то этот результат, вообще говоря, неверен.
3. Наличие поршня не может сказаться на окончательном распределении энергии между газами, находящимися по разные стороны от него. Если убрать поршень, то обмен энергиями между ними будет осуществляться путем непосредственных столкновений молекул газа 1 с молекулами газа 2. Явление осложняется перемешиванием (диффузией) газов. Но средние кинетические энергии
204
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. V
поступательного движения молекул обоих газов в состоянии теплового равновесия останутся одинаковыми. То же справедливо и для смеси произвольного числа различных газов.
4. Учтем, наконец, молекулярную структуру поршня и определим среднюю кинетическую энергию поступательного движения его молекул. Если и — скорость центра масс поршня, то
