Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. Формула (96.4) показывает, что при прочих равных условиях расход газа Q пропорционален кубу радиуса трубы. Это должно учитываться при конструировании вакуумных установок. Допустим, что мощность высоковакуумного насоса позволяет откачивать в секунду V литров газа, а труба, соединяющая насос с откачиваемым баллоном, способна пропускать за то же время v литров. Если v V, то применять мощный насос бессмысленно. Для правильного
использования насоса размеры соединительной трубы надо выбирать так, чтобы было v V.
5. Приведем теперь более строгий молекулярно-кинетический вывод полученных формул. Наиболее существенным моментом нашего вывода будет предположение относительно характера взаимодействия ударяющихся молекул со стенками трубы. Предположим, что после удара о стенку молекулы отражаются обратно так, что их скорости становятся распределенными по закону Максвелла при температуре, равной температуре стенки. Это предположение означает, что молекулы газа воспринимают температуру стенки, а их скорости становятся распределенными изотропно уже в результате однократных ударов о стенку. Хотя это и не совсем правильно, но такое предположение является простейшим и в рассматриваемом вопросе приводит в основном к правильным результатам.
Строго говоря, мы выражались не совсем точно. Отраженные молекулы движутся только от стенки, среди них нет молекул, движущихся к стенке. Поэтому о максвелловском распределении скоростей отраженных молекул можно говорить лишь условно. Смысл нашего предположения состоит в том, что если отраженные молекулы пополнить таким же числом молекул, летящих с теми же, но противоположно направленными скоростями, то получится максвелловское распределение.
Допустим теперь, что с единичной площадкой S в одну секунду сталкивается NCT молекул. Найдем долю этих молекул dN„, отра-
§ 96J МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ УЛЬТРАРАЗРЯЖЕННОГО ГАЗА 367
жающихся в телесный угол dQ, ось которого составляет угол ft с нормалью к площадке S (рис. 92). Так как по нашему предположению распределение отраженных молекул по углам и скоростям не зависит от скоростей и направления движения падающих молекул, то можно предположить, что падающие молекулы вместе с отраженными распределены по закону Максвелла. Пусть п — число всех молекул в единице объема. Тогда число молекул в телесном угле dQ, падающих в единицу времени на площадку S под углом •О
dQ
к нормали, будет tw S cos ^ 4^г- Таково же будет и число молекул dNCT, отразившихся в симметрично расположенный телесный угол по другую сторону нормали. Полное число падающих молекул дается формулой (75.5), т. е. N„ = 1/4 га. Вводя его, получим,
dNCT = cos '0' dQ. (96.7)
6. Вернемся к задаче о молекулярном течении газа через трубу. Трубу будем считать цилиндрической, радиуса а. Так как расход газа Q один и тот же через все сечения трубы, то для его вычисления можно взять сечение S, проходящее через середину трубы (рис. 93). Плоскость сечения S примем за координатную плоскость YZ, ось X направим по одной из образующих цилиндра. Пусть dS — элементарная площадка в сечении S. Возьмем на боковой поверхности
цилиндра бесконечно короткий поясок ширины dx' и на нем элементарную площадку dS'. Из середины площадки dS' площадка dS
dS cos ,0>
видна под телесным углом dQ — —^—. Число молекул dN,
летящих от площадки dS' и проходящих через dS в одну секунду, определяется выражением
,,, NCT п, NCT cos © cos д' .о jo/
dN = —-cos® dQ =—-------------55----dS dS ,
368
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
[ГЛ VII
где R — расстояние между площадками, •О и •О' — углы между нормалями к ним и линией, соединяющей центры площадок. Величина NCT относится к месту нахождения площадки dS' и является функцией ее координаты х: Nc, = NCT (х).
Для определения полного числа молекул N, проходящих через сечение S в единицу времени, надо выражение для dN проинтегрировать по сечению 5 и по боковой поверхности цилиндра. Но так как все площадки dS' на пояске расположены совершенно одинаково относительно сечения S, то dS' можно сразу заменить на площадь пояска 2nadx. Для упрощения вычислений вершину телесного угла dQ можно поместить на оси Y, как это сделано на рис. 93. Пусть у и 2 — координаты центра площадки dS. Тогда
cos '0' = -щ-, =
N = 2а ^ ydS ^ iVCT (х) ^ dx.
~ 2“
Если бы число ударов iVCT было одинаково по всей длине трубы, т. е. не зависело от х, то подынтегральное выражение iVCT (х) x/R* было бы нечетной функцией х, и интеграл по х обратился бы в нуль. Заметив это и предполагая, что функция NCT (х) не слишком быстро меняется вдоль трубы, разложим ее в ряд по степеням х и оборвем разложение на квадратичном члене:
N., = AU0> +
При интегрировании по х первое и последнее слагаемое не внесут никакого вклада в интеграл, и мы получим
+4
N = 2a^^ydS Jjjdx.
~2
Считая трубу длинной, заменим в последнем интеграле конечные пределы бесконечными. Для вычисления всего интеграла введем в плоскости сечения 5 полярные координаты г и ф, поместив начало полярной системы координат в точку О. Тогда у =r cos ф, R2 = = //2 + х2, dS -- г dr f/ф, а потому
