Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
352
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Учтем теперь, что п1и1 -Ь йоЯ2 = 0. Если бы это было не так, то нарушилось бы постоянство полной концентрации частиц п, что привело бы к макроскопическому движению всего газа. С учетом этого
„ п _
Fl — ~Г М'; !2и) >
“2
а потому
В, = —-L-.
^ л|дг12
Подставляя сюда значение г12 из (86.8), получим
1
=--------77==^. (92-2)
Формула Эйнштейна (91.3) окончательно дает
ЬТ
Di2 = Dal =----- , - (92.3)
ЦЯ012 У f ; + 05
В формулу (92.3) не входят ни пг, ни п2. Отсюда следует, что коэффициент концентрационной диффузии газов не зависит от концентрации компонентов газовой смеси. Этот вывод подтверждается опытом.
§ 93. Броуновское движение как процесс диффузии
1. В § 64 теория броуновского движения строилась на основе рассмотрения движения одной частицы. Но к этому явлению можно подойти с другой точки зрения. Можно рассматривать совокупность одинаковых броуновских частиц в жидкости как некоторый «газ», заполняющий пространство. При наличии градиентов концентрации в таком газе из-за броуновского движения будет происходить диффузия. Можно выразить коэффициент диффузии D через средний квадрат смещения броуновской частицы, которое она претерпевает за определенное время т. Если в полученное соотношение вместо D подставить его выражение по формуле Эйнштейна (91.3), то в результате должна получиться основная формула теории броуновского движения (64.4). Целью настоящего параграфа и является рассмотрение теории броуновского движения с этой точки зрения.
Пусть в однородной жидкости в отсутствие внешних силовых полей распределены тождественные броуновские частицы с концентрацией п(х), меняющейся только в направлении оси X. Вычислим диффузионный поток Г таких частиц через произвольное сечение, перпендикулярное к оси А'. Возьмем в этом сечении бесконечно малую площадку dS (рис. 85). Выделим группу броуновских частиц, которые за время т смещаются на один и тот же вектор Аг/. Пусть будет велика не только полная концентрация броуновских частиц п, но и концентрация их щ(х) в каждой группе. Число частиц і-й группы dNj, проходящих через площадку dS за время т, будет равно числу их в косом цилиндре АВВ А' с основанием АВ и образующей Аг,-, т. е.
dNi = ^ щ (х) dV.
Линейные размеры площадки dS можно выбрать малыми по сравнению с Аг,-. Тогда элемент объема dV можно представить в виде dV = dSdx и написать
О
dNi = dS j щ (a) dx = dS \ щ (хи+?) rfg,
— Ах.
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КАК ПРОЦЕСС ДИФФУЗИИ
353
где хи — координата центра О площадки dS. Выбрав т, а следовательно, и Д*,• достаточно малыми, разложим функцию іц (л0 + ?) цо степеням | и оборвем это разложение иа линейном члене. Тогда
о 0
dNi^=ni(0)dS jj d| + (rfj)^dS ldb
— &x- — Ax.
или после интегрирования
dN^dS [n^._lg(A.vi)2J.
Аргумент *0 мы опустили, предполагая, что концентрация п.; и ее производная driijdx берутся в центре площадки dS.
Избыток dN броуновских частиц, проходящих через площадку dS в положительном направлении оси X, над числом частиц, проходящих в противопо-ложиом направлении, найдется суммированием предыдущего выражения по всем группам частиц:
Среднее значение первой суммы равно нулю. Действительно, концентрации пі относятся к центру площадки dS, а смещения броуновских частиц в положительном и отрицательном направлениях равновероятны. Для вычисления второй суммы заметим, что по определению среднего
П<Дх2> = й,-(Дх;)2.
Величины Дж/, как независимые параметры, не зависят от*. Средний квадрат смещения (Дат2) также не может зависеть от х ввиду однородности жидкости и отсутствия силовых полей. Поэтому дифференцирование предыдущего соотношения по х дает
В результате для среднего значения dN получаем
dN = -dS^p-^.
2 dx
Чтобы найти средний диффузионный поток броуновских частиц Г, надо эту величину разделить на dS и т. Таким путем получаем
г <Д*2) dn
2т dx '
(93.1)
Отсюда видно, что выравнивание концентраций броуновских частиц можно рассматривать как процесс диффузии с коэффициентом диффузии
D=1 (Дх2)
2 т
2. Так как по своему смыслу коэффициент диффузии D ие может зависеть от произвольно выбранного времени т, то уже из формулы (93.2) видно, что (Дд^)~т. Эта зависимость была проверена Перреном в опытах, описанных в § 64. Далее, используя формулу (91.3), получаем
<Дх2) = 2ШЗг. (93.3)
354
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Эю — основная формула теории броуновского движения. Она отличается от формулы (64.4) только обозначениями. Правда, в формуле (64.4) речь шла о смещениях одной и той же частицы в последовательные и равные друг другу промежутки времени. Формула же (93.3) предполагает, что происходят одновременные смещения множества броуновских частиц. Однако ввиду тождественности броуновских частиц и однородности жидкости между этими смещениями по существу нет разницы.
F-сли ввести средний квадрат полного смещения броуновской частицы, то получится
,93.4)
3. Формулы (93.2) и (93.4), конечно, справедливы и для диффузия молекул газа или жидкости. Однако, точное вычисление коэффициента диффузии по этим формулам здесь практически невозможно. Для этого надо было бы точно знать средний квадрат смещения молекулы за время т. Практически возможны лишь приближенные оценки. Оценим, например, с помощью формулы (93.4) коэффициент самодиффузии молекул газа. Упрощая расчет, будем считать, что время между двумя последовательными столкновениями молекулы одно и то же. Возьмем его в качестве т. Кроме того, будем считать, что и смещение молекулы
