Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
5 •d/2 < Ь, т. е. S 4/snNd2. Если сосуд имеет форму шара радиуса R, то это условие сводится к
fl<dV4V. (98.2)
Для одного моля при d ^ 10"8 см это дает R 104 см = 100 м. Давление газа в шаре такого радиуса было бы ^ 10 я атм.
3. Так как давление газа Р не может быть отрицательным, то из формулы (98.1) следует, что при всех давлениях V > Ъ. Значение V = b достигается только при Р = оо. Это заключение неправильно. Постоянная Ъ равна учетверенному объему всех молекул газа. Между тем твердые шары, каковыми в нашей модели являются молекулы, можно разместить в меньшем объеме. Их, конечно, невозможно разместить в объеме Ы4, в точности равном сумме объемов всех шаров. Даже при наиболее плотной упаковке останутся промежутки между шарами. При наиболее плотной упаковке (см. рис. 175, а) общий объем всех шаров Ы4 составляет я/(3 ]/2) = = 0,74 объема всего тела (см. § 134). Отсюда следует, что минимальный объем, до которого может быть сжата наша модель газа, равен
3
..4л Ъ — 0,337 Ъ, а не Ъ, как это было получено из уравнения (98.1).
Почему же уравнение (98.1) привело нас к неправильному заключению? Потому, что мы вывели его в предположении парных столкновений, а использовали тогда, когда это условие не выполняется. При всякой более плотной упаковке каждый шар одновременно касается нескольких соседних шаров, а такие случаи при выводе были исключены из рассмотрения.
4. Рассмотрим теперь влияние сил молекулярного притяжения. Предполагая, что сил отталкивания нет, изменим модель газа. Молекулы будем считать точками, между которыми действуют силы притяжения. В отличие от сил отталкивания, действующих на близких расстояниях, силы молекулярного притяжения являются силами дальнодействующими. Во взаимодействии участвует сразу много молекул, и схема парных столкновений становится непригодной. Окружим каждую молекулу сферой молекулярного действия. Если эта сфера целиком находится внутри газа, то силы, действующие на рассматриваемую молекулу со стороны окружающих молекул, в среднем уравновешиваются (рис. 96).
УРАВНЕНИЕ БАН-ДЕР-БААЛЬСА
377
Но этого не будет, когда молекула находится вблизи границы газа со стенкой. Здесь сфера молекулярного действия лишь частично проходит в газе. Появляется избыток молекул, тянущих рассматриваемую молекулу внутрь газа, над молекулами, тянущими ее наружу. Таким образом, вблизи стенки возникает пристеночный слой газа, толщина которого равна радиусу сферы молекулярного действия. Каждая молекула этого слоя в среднем подвергается действию силы /, направленной в сторону газа. Величина силы / максимальна, когда молекула находится у самой стенки, и убывает при удалении от нее.
Когда молекула газа летит к стенке, а затем отражается от нее, то меняется ее импульс. Изменение импульса подсчитывается совершенно так же, как это делалось в § 59 при вычислении давления идеального газа. Ежесекундное изменение импульса всех молекул, падающих на единицу площади стенки и отражающихся от нее, равно 1/3пт (v*). Однако, в отличие от идеальных газов, импульс налетающих молекул изменяется Рис. 96.
не только под действием сил давления со стороны стенки, но и под действием сил, с которыми их тянут внутрь газа молекулы пристеночного слоя. В частности, под действием этих последних сил молекула может отразиться внутри пристеночного слоя, не долетев до стенки. Вместо сил, действующих на налетающие молекулы, можно по третьему закону Ньютона ввести равные им и противоположно направленные силы, действующие на стенку и на молекулы пристеночного слоя. Пусть Р — средняя сила давления газа на стенку, a Pi — средняя сила (отнесенная к единице площади), с которой молекулы пристеночного слоя втягиваются внутрь газа. Тогда
P + Pl=1/3nm(v2),
или
P + Pi = nkT. (98.3)
Из изложенного видно, что давление на стенку Р не зависит от материала стенки. Роль стенки может выполнять сам газ. Проведем мысленно произвольное сечение, разделяющее газ на две части. Давление одной части на другую будет таким же, как если бы эта другая часть была твердой стенкой. Оно равно Р, а не Р Ч Р, или какой-либо другой комбинации этих величин. Именно это давление Р входит в уравнение гидродинамики и газодинамики.
Сила Pi называется внутренним или молекулярным давлением. Ее можно представить в виде Р{ = (Ncnf), где / — сила, действующая на молекулу пристеночного слоя, а Nсл — число молекул
378
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
[ГЛ. VIII
в нем, отнесенное к единице площади. Можно также написать Pi (Ncn) (f). Обе величины и (/) пропорциональны плотности или обратно пропорциональны объему газа. Предполагая
опять, что газ взят в количестве одного моля, можно положить
Рі = -?.г, (98-4)
где а — постоянная, характерная для рассматриваемого газа. Тогда
(98.3) переходит в
[P + ^n)v^RT. (98.5)
5. Теперь надо учесть совместное действие сил притяжения и сил отталкивания. Для неплотных газов, к которым относятся наши рассуждения, поправки на силы притяжения и отталкивания можно вводить независимо. Тогда в результате комбинации формул (98.1) и (98.5) получится
[P + -^j(V-b)=RT. (98.6)
