Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
u = BF. (91.1)
Несущественно, что частицами являются ионы. Все сказанное справедливо и для молекул, и для любых других частиц.
2. Допустим теперь, что имеется «газ» каких-то частиц в постоянном и однородном силовом поле. «Газ» настолько разрежен, что силами взаимодействия между его частицами можно полностью пренебречь. Примером такого «газа» может служить совокупность броуновских частиц, взвешенных в жидкости. Другим примером является обычный идеальный газ в силовом поле. Если F — сила, действующая на частицу «газа» в силовом поле, то потенциальная энергия ее в этом поле будет є,, = —Fx. (Предполагается, что ось X направлена в сторону действующей силы.) Если состояние стационарно, то концентрация частин «газа» меняется в пространстве в соответствии с формулой Больцмана
ер Fx
п = п0е ьт = щекТ' (91.2)
Но микропроцессы не прекращаются даже тогда, когда состояние стационарно. Поскольку есть градиент концентрации, в газе происходит диффузия. Диффузионный поток в положительном направлении оси X определяется выражением ГДІіф = — Ddn/dx. А так как «газ» находится в силовом поле, то существует также и «силовой поток» молекул с плотностью Гспл = BFn. В состоянии равновесия должно быть
-Dfc + BFn = 0.
Подставляя сюда выражение (91.2), получаем после сокращения
И3 п D-^kTB. (91.3)
Это соотношение между коэффициентом диффузии и подвижностью частицы было установлено Эйнштейном и носит его имя.
§ 92. Концентрационная диффузия в газах
1. Рассмотрим теперь смесь двух различных газов с концентрациями пх и пг, изменяющимися в направлении оси X. Давление и температура смеси предполагаются постоянными, так что общая концентрация п = пх(х) + п2(х) одна и та же во всем газе. Диффузионные потоки газов определяются выражениями
г_____п > р _________ п
ll~ 12 dx ' 1а~ °2У dx ’
КОНЦЕНТРАЦИОННАЯ ДИФФУЗИЯ В ГАЗАХ
351
где ?>и — коэффициент диффузии газа 1 в газ 2. a D21 — коэффициент диффузии газа 2 о газ 1. Благодаря наличию диффузионных потоков на тепловое движение газон накладывается упорядоченное движение их в направлении оси X. Скорости такого упорядоченного движения обозначим Uy и и2. Согласно соотношению Эйнштейна (91.3) вычисление коэффициентов диффузии 012 и D21 сводится к вычислению подвижностей молекул газов. Этим методом мы и воспользуемся.
2. Вычислим подвижность By молекул первого газа. Для этого рассмотрим какую-либо одну молекулу этого газа, которую назовем молекулой 1. Решим сначала следующую задачу. Какая постоянная сила Fy должна действовать на молекулу 1, чтобы поддерживать се регулярное движение с постоянной скоростью ttj? Если эта сила будет найдена, то подвижность Ву найдется из соотношения tty ' BtFy. Ясно, что сила Fy в среднем должна уравновешиваться силами ударов, действующими на молекулу 1 при столкновениях. При ее вычислении можно отвлечься от изменения концентраций tiy и п2 в пространстве и считать эти концентрации постоянными. Тогда столкновения молекулы 1 с молекулами того же (первого) газа можно не принимать во внимание.Они’движутся с той же упорядоченной скоростью Uy, а потому столкновения с ними не вносят никакого вклада в величину интересующей нас силы. Надо учесть столкновения только с молекулами второго газа.
Пусть г12 — число столкновений, претерпеваемых молекулой 1 в одну секунду с молекулами второго газа, а Ару — изменение ее импульса при одном столкновении. Полное изменение импульса молекулы 1 в одну секунду в результате столкновений с молекулами второго газа будет г1гАру. Если у этой величины изменить знак и усреднить ее по всем столкновениям, то мы и получим интересующую нас силу Fy. Среднее значение произведения двух величин, вообще говоря, нельзя заменять произведением средних значений этих величин. Одиако, если сделать такую замену, то это может сказаться только на несущественном численном коэффициенте порядка единицы. Поэтому в целях упрощения вычислений примем Fy =—г12 (Ар,). Средее число столкновений г12 дается выражением (86.8). Что касается величины Ару, то при усреднении выпадет та часть ее, которая связана с тепловым движением. Поэтому от теплового движения молекулы 1 можно отвлечься и написать (Ару) = ту (Аиу). Точно так же можно отвлечься от теплового движения молекулы 2, с которой сталкивается молекула 1. Таким образом, задача свелась к рассмотрению столкновения двух молекул с массами ту и тй, которые в лабораторной системе отсчета движутся со скоро-
TI > г myUy+m^Ui
стями Uy и и2. Центр масс этих молекул движется со скоростью V = ¦ -----.
fill -*р 171%
Если молекулы считать идеально упругими шарами, то в системе центра масс они рассеиваются сферически симметрично (см. задачу к § 87). Это означает, что в системе центра масс средние скорости упорядоченного движения молекул после столкновения равны нулю. Значит, в лабораторной системе обе эти скорости будут равны V. Поэтому для среднего изменения скорости Uy при столкновении получим
(hul) = V-Uy~mAtt2~U'>, х 1 m1+/n2 1
а потому
F*= = ^ (иУ~Щ)' (92Л)
где |Х — приведенная масса.
Заметим, между прочим, что если бы мы рассматривали столкновения молекулы 1 с молекулами первого газа, то мы пришли бы к такому выражению, в котором вместо массы т2 стояла бы масса шь а вместо разности Uy — Н2 — разность Uy — Uy, т. е. пуль. Это лишний раз доказывает, что столкновения с молекулами первого газа можно не принимать в® внимание.
