Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
• • •
• • • • •
• • • •
Рис. 72.
(Z + N- 1)! N\ (Z— 1)!
(82.2)
4. Перейдем теперь к выводу распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна. Мы имеем в виду идеальный газ, состоящий из фермионов или бозонов, помещенный в сосуде неизменного объема с твердыми, непроницаемыми адиабатическими стенками. Прежде всего надо решить, как характеризовать макросостояние газа. С этой целью разделим все квантовые состояния частицы на узкие энергетические слои. Каждый слой состоит из квантовых состояний
§ 82] СТАТИСТИКИ ФЕРМИ — ДИРАКА И БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА
311
с одинаковыми или очень близкими значениями энергии частицы. Энергии квантовых состояний в і-м слое заключены в интервале (є,-, Є/ + бє;). Нет необходимости точно фиксировать ширины слоев бег. Достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие 6є,- ег. Кроме того, число квантовых состояний Z,- в энергетическом слое должно быть очень велико. Макросостояние газа характеризуется заданием чисел частиц N, в каждом энергетическом слое. Понятно, что любая перестановка частиц в слое не меняет ни микро-, ни макросостояние. Определим теперь число микросостояний, С ПОМОЩЬЮ которых может быть осущестапено рассматриваемое макросостояние газа с фиксированными числами Nit т. е. статистический вес G этого макросостояния. Число способов, которыми можно распределить N{ частиц по Z; квантовым состояниям t'-ro слоя, будет
г zi! г (Zi + Ni— 1)!
Gi ~ЛГг! (Zi-Ntf ИЛИ Gi~ Nt\ (Zj-l)l
для фермионов и бозонов соответственно. Перемножая все Git найдем статистический вес рассматриваемого макросостояния всего газа. Таким образом, для фермионов
С==Па?;1 (Zi-Nt)l’ (82,3)
І
а для бозонов
п
і
(Zj + Nj 1)1 .
Ni\(Zi—\)\ ‘ (o^-4)
Задача состоит в том, чтобы найти наиболее вероятные распределения обращающие в максимум выражения (82.3) и (82.4) при дополнительных условиях (81.2) и (81.3). Предполагая, что велики не только Z,-, но и все Niy поступаем так же, как и в статистике Больцмана. Применяя формулу Стирлинга, находим энтропию газа из фермионов и бозонов:
5Ф^= ¦- k 2 [Nt In Nt + (Zt - Ni) In (Zt - Nt)] + const, (82.5)
І
s6 = AS [(Zi + Ni-l)ln(Zi + Ni-\)-Ni In Nil + const. (82.6)
І
Из условия максимума с учетом (81.2) получаем
In— dNt — 0 (для фермионов),
1
У In дг_____і dNt = 0 (для бозонов).
Эти соотношения отличаются от первого соотношения (81.8) только
312
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
тем, ЧТО вместо In Ni В НИХ СТОЯТ ІП и In ----Z-. Поз-
™ і /У і 1
тому по аналогии с (81.9) можно сразу написать
Ni
Zi-Ni
Ni
Ae ‘ (для фермионов), (82.7)
Z- + N- ^Є~~аЕ1 ^ДЛЯ ^озонов)’ (82.8)
причем в последней формуле мы пренебрегли единицей по сравнению с Zi + Ni. Постоянная а находится из тех же термодинамических соображений, как и в статистике Больцмана. Она оказывается равной прежнему выражению\(81.10). Среднее число частиц приходящееся на одно квантовое состояние, равно AVZ,-, т. е.
1
Е,—^ кТ +1 1
(для фермионов), (82.9)
(для бозонов). (82.10)
е kl -1
Здесь введена новая постоянная' (X, связанная с А соотношением
Л-
А = е кТ. Это и есть распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.
5. Если щ 1, то в знаменателях формул (82.9) и (82.10) можно пренебречь единицами, тогда эти формулы переходят в
Пі = е kT =const-e кт, (82.11)
т. е. в формулу распределения Больцмана. Значит, распределением Больцмана можно пользоваться лишь тогда, когда малы «числа заполнения» квантовых ячеек, т. е. при условии 1. Об этом уже говорилось в конце § 71. Переход статистик Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна в статистику Больцмана надо понимать в том смысле, что при выполнении условия щ 1 формулы (82.9) и (82.10) переходят в больцмановскую формулу (82.11). При этом статистические веса (82.3) и (82.4) отнюдь не переходят в больцмановское выражение (81.1). Однако реальный смысл имеют не сами статистические веса, а их логарифмы, точнее, разности логарифмов статистических весов в различных состояниях, определяющие соответствующие приращения энтропии.
6. Постоянная ц определяется из условия нормировки
2^=2^—=^- (82.12)
?
ekT ±1
§ 82] СТАТИСТИКИ ФЕРМИ — ДИРАКА И БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА
313
Очевидно, она зависит от внешних параметров (в нашем случае от объема У), температуры газа Т и от числа частиц N.. Постоянная р называется химическим потенциалом газа. Химический потенциал р определен с точностью до той же произвольной аддитивной постоянной, что и энергии є,-. Условимся энергию е, наинизшего уровня считать равной нулю. Тогда формулой (82.2) химический потенциал определится однозначно.
Средние числа заполнения п; по своему смыслу не могут быть отрицательными. Это накладывает определенные ограничения на знак (х в случае бозе-газов (т. е. газов, состоящих из бозонов). Именно, из положительности выражения (82.10) следует р ^ е{ для всех В частности, при і = 1, получаем р 0. Для бозе-газов, таким образом, химический потенциал отрицателен или равен нулю. Для ферми-газов (т. е. газов, состоящих из фермионов) подобного
ограничения не существует. Для газов, подчиняющихся статистике Больцмана, также р < 0. Действительно, формула (82.11) допускает любой знак для р. Однако не надо забывать, что эта формула применима при условии пг<4. Из него при і = 1 снова получаем р < 0.
