Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 136

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 240 >> Следующая

306
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Оговд* v (In Ni + р + aEi) dNi = 0,
где а и р — лагранжевы множители, не зависящие от всех переменных Nt. Их выбираем так, чтобы коэффициенты при dNx и dN2 обратились в нуль. Тогда будут равны нулю и коэффициенты при всех остальных dNh так как переменные N3, iV4, ... можно принять за независимые. Итак,
In iVi-f Р + аєг = 0, откуда _
У А; = Л/0е”‘, (81.9)
где N0 — е Р — новая постоянная. Черта над Nt поставлена для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о средних значениях чисел Nit точнее, об их значениях в наиболее вероятном состоянии.
6. Для определения постоянной а заменим адиабатические стенки сосуда теплопроводящими, сохраняя объем сосуда неизменным. Газ в сосуде перестанет быть изолированной системой, но его макроскопическое состояние останется тем же, если только температура окружающей среды равна температуре газа Т и поддерживается постоянной. Появятся лишь малые флуктуации энергии, которые при полной изоляции системы были бы невозможны. Но флуктуации не принимаются во внимание при термодинамическом описании систем. Будем теперь бесконечно медленно (квазистатически) изменять температуру окружающей среды. Так как объем газа сохраняется неизменным, то газ не совершает работы, а только обменивается теплом с окружающей средой. Поэтому dE — bQ =
— TdS. Энергии квантовых уровней є,, е2, ... в таком процессе останутся неизменными. Они зависят лишь от внутренней структуры молекулы и от положения стенок сосуда, которое во время процесса не изменяется. Будет происходить лишь перераспределение молекул между различными уровнями, т. е. будут меняться средние числа заполнения Nt. Для изменения энергии газа получаем dE=Yiei dNit а для изменения энтропии^ согласно формуле (81.7), dS = = — k ^ In Ni dNi = ka v і-'і dNi. Подставляя эти значения в соотношение dE =Т dS, получаем
(81.10)
а потому
Ni — N0e~~e/kT. (81.11)
Это — распределение Максвелла — Больцмана. С изложенной здесь точки зрения оно может быть охарактеризовано как наиболее вероятное распределение. Кроме того показано, что это распределение верно не только в классической, но и в квантовой статистике. Постоянная N0 найдется из условия нормировки
ZN{ = Nv 2 e-ei/kT =N. (81.12)
СТАТИСТИКИ ФЕРМИ - ДИРАКА И БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА
307
Если квантовые уровни молекулы вырождены, то вместо формулы
(81.11), очевидно, следует писать
Ni==N0gie~*i/kT, (81.13)
где gi — кратность t-ro уровня.
7. Найдем еще выражение для энтропии идеального газа через функцию распределения в классической статистике. С этой целью разделим фазовое пространство молекулы на ячейки с равными фазовыми объемами AQ. Среднее число частиц в t-й ячейке будет Ni = TV / (є,) AQ. Подставляя в (81.7) и принимая во внимание, что In AQ есть величина постоянная, получим
S = — kN ?f (є,) In f (є,) AQ -f- const, или, заменяя сумму интегралом, —
— kN (e) In / (є) dQ +const. (81.14)
8. Заметим, наконец, что формула (81.11) применима для статис-
тического описания не только отдельных молекул, но и макроскопических систем. Возьмем большую изолированную макроскопическую систему 2, которую можно мысленно разделить на одинако-
вые малые, но макроскопические подсистемы о, слабо взаимодействующие между собой. Благодаря такому взаимодействию подсистемы могут обмениваться энергией и находиться в различных квантовых состояниях с энергиями є,. К подсистемам применимы все рассуждения, проведенные выше для отдельных молекул. Среднее число подсистем, находящихся в і-м квантовом состоянии, будет по-прежнему определяться формулой (81.11). Но равновесное состояние подсистемы не зависит от того, какой средой она окружена, а зависит только от температуры этой среды. Поэтому можно изменить постановку вопроса. Пусть о — произвольная макроскопическая система, окруженная любой протяженной средой, температура которой поддерживается постоянной. Такую среду называют термостатом, а о о говорят как о «системе в термостате-». Формула (81.11) применима и к этому случаю. Число Nt определяет относительную вероятность того, что система о при термодинамическом равновесии находится в і-м квантовом состоянии. Понимаемая в таком смысле формула (81.11) называется каноническим распределением Гиббса. Это распределение представляет наиболее общую и удобную основу для построения статистической механики.
§ 82. Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна
1. Согласно современной квантовой механике все элементарные и сложные частицы разделяются на два класса. К первому классу относятся электроны, протоны, нейтроны и все частицы с так называемым полу целым спином. Эти частицы подчиняются статистике
308
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Ферми — Дирака. Они называются фермионами. Ко второму классу относятся фотоны, л- и /(-мезоны и все частицы с целым спином. Эти частицы называют бозонами. Никаких других возможностей квантовая механика не допускает. Статистика Больцмана, изложенная в предыдущем параграфе, является приближенным предельным случаем, в который переходят при определенных условиях статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна. Нам почти не придется в настоящем томе применять эти квантовые статистики. Но учитывая их важность в самых различных разделах современной физики, необходимо уже здесь, насколько это возможно, изложить их физические (точнее, статистические) основы.
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed