Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
р = vjV. Полагая в формуле (80.8) рх = р, р2 — q, получим
М „n„N—п
pnq , (80.11)
" и! (N —и)!
причем
1 р»- 2 ЩІ&,<*¦>=)
п^О л = 0
Выражение (80.11) есть математическая вероятность того, что в объеме v находится п молекул (безразлично каких). Для получения среднего числа молекул в этом объеме применяем формулу (70.10) и получаем
Введем новый индекс суммирования п' — п — 1 (а затем заменим его снова на п, так как сумма не может зависеть от того, какой буквой обозначен индекс сум* мирования). Тогда n—1
(W —1)1 м ,
- - - pnqN — 1 — п
n = Np
п\ (N — l — n)\
п — 0
Последняя сумма равна единице ввиду соотношения (80.12), а потому
n=Np. (80.13)
Этого и следовало ожидать. Аналогично находим
п (п— 1) = /V (JV —• 1) р2,
откуда
= N (N—l)p2+n. (80.13а)
На основании формулы (80.9) Дтг2 = пг —п2. Подставляя сюда значения (80.13) и (80.13а), получим
(Д^Г2 = ЛГр(1-р) = л(1-р). (80.14)
Если v V, то р 1, а потому
(Дп)2 = п. (80.15)
Для относительной квадратичной флуктуации находим
300
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ІГ.П. VI
В соответствии со сказанным видим, что в объемах с большим числом частиц п относительные флуктуации малы и трудно доступны наблюдению. Наоборот, при малом числе частиц ті относительные флуктуации велики.
4. Определить асимптотическое выражение, в которое переходит формула
(80.11), когда N -*¦ оо при фиксированных п и п. Такое выражзние определяет вероятность того, что число молекул в объеме v равно п при условии, что объем v окружен однородным газом, простирающимся бесконечно во всех направлениях.
Решение. Замечая, что р— |, = д,, q== 1—р, перепишем формулу
(80.11) в виде
.(і-1)
' \ N)" \ N )
і : n\N—n
L(пуч ( __ і
Перейдем в этом выражении к пределу N -> оо при фиксированных п и п. Так как
N iV — п -
.. /. n\N — n /' П я N — ТІ
І1ҐП (1—дТ( = ІІГГ1 ( 1 — ^7 J —е ‘S
\ N У /V — со \ N]
то таким путем получим
P,,=l!re~n (SO. 17)
(формула Пуассона).
5. Преобразовать выражение (80.17) с помощью асимптотической формулы Стирлинга (81.5).
Ответ.
(80.18)
6. Если п велико, то вероятность (.‘¦'0 18) имеет очень резкий максимум при п ~ п. Этим можно воспользоваться г.п \ прпни лия формулы (80.18), разлагая 1 пРП в ряд Тейлора по степеням (п — и) и обривая это разложение на члене второй степени. Получить вираженії? ДЛЯ к, ро.пно^ти Рп в этом приближении.
Решение. В нырял;ешш для прои.чн > июй
d п~'\Р
, - (!n Рп) — In n — In п----- —— 1
dti к п/ п
можно пренебоечь 1/2 по сравнению с п. Тогда производная обратится в нуль при п — п. В этом случае In Рп максимален. Вычислив вторую производную, найдем в требуемом приближении
In Рп — In---Lrrrr — — (п — П)-,
| 2лп 2d
(я-я)а
P„ = -J=?C 2п (80.19)
У 2 л п
(распределение Гаусс а).
7. Получить распределение Гаусса (80.19) из формулы Больцмана (80.3), используя термодинамическое выражение для энтропии идеального газа (40.9).
Решение. До флуктуации, когда состояние всего газа было равновесным, его энтропия определялась выражением
S0=Ncv\nT+Nk 1п?,
МЕТОД НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
где cv — теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу газа. После флуктуации, когда в объеме v стало п частиц, энтропня газа будет
S = jVca In T+k{N-n)\t\j^n+kn\n~.
Вычтем отсюда предыдущее выражение, пренебрегая при этом членами второй степени по v!V и ti/N. Получим приращение энтропии газа в результате флуктуации:
По формуле Больцмана (80.3)
AS = ? 1п?,
Го
и для искомой вероятности находим
Рп = Ро
Переход к распределению Гаусса производится так же, как переход от формулы
(80.18) к формуле (80.19). Выполнив этот переход, затем можно определить постоянную Р0 из условия нормировки ^ Рп= 1- Для этого следует аппроксимировать сумму интегралом.
§ 81. Метод наиболее вероятного распределения в статистике Больцмана
1. Как определять микро- и макросостояния системы, их вероятности и статистические веса — это наиболее фундаментальные и труднейшие вопросы статистической термодинамики, к тому же еще не исследованные до конца. Мы не имеем возможности осветить здесь эти вопросы с исчерпывающей полнотой, так как для этого потребовались бы основательные знания математики, аналитической механики, электродинамики и квантовой механики. Остановимся только на идейной стороне, опуская те вопросы и доказательства, для которых такое знание необходимо.
Рассмотрим сначала систему N тождественных молекул, помещенных в закрытом сосуде с жесткими теплонепроницаемыми стенками. Система может находиться во внешнем постоянном потенциальном силовом поле. Ее полная энергия остается постоянной. Между молекулами должно происходить взаимодействие. Будем предполагать, что это взаимодействие слабое. Это значит, что энергия взаимодействия пренебрежимо мала, и имеет смысл говорить об энергии каждой молекулы в отдельности, а не только об энергии системы в целом. Такое взаимодействие необходимо, так как только благодаря ему в системе и может установиться определенное статистическое распределение.
2. Подойдем к вопросу сначала с классической точки зрения, принимая молекулы за материальные точки, подчиняющиеся законам классической механики. Динамическое состояние системы определяется заданием координат х, у, г и соответствующих им им-
