Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Во всех трех статистиках допустимые микросостояния принимаются равновероятными. Но статистики отличаются друг от друга тем, как они определяют микросостояния и статистические веса макросостояний. Статистика Больцмана стоит на точке зрения принципиальной различимости частиц, даже когда частицы абсолютно тождественны. Если частица А находится в квантовом состоянии I, а частица В — в квантовом состоянии II, то получится новое микросостояние, когда эти частицы поменяются местами, т. е. частица А перейдет в состояние II, а частица В — в состояние 1. Квантовые статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, наоборот, принимают, что при такой перестановке никаких изменений не произойдет — получится в точности то же микросостояние. Обе эти статистики стоят на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц. Различие между статистиками Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна состоит в следующем. В статистике Ферми — Дирака принимается, что в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Статистика Бозе — Эйнштейна подобных ограничений не накладывает. Она допускает, что в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц. Столь различное поведение бозонов и фермионов обосновывается в квантовой механике. Здесь об этом говорить преждевременно.
Для пояснения рассмотрим две тождественные частицы Л и В, которые требуется распределить по трем квантовым состояниям. Состояния будем изображать клетками. Все равновозможные случаи, допускаемые статистикой Больцмана, представлены на рис. 70, слева. Всех микросостояний девять, математическая вероятность каждого из них 1/9. По статистикам Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака (рис. 70, в центре и справа), состояния 1) и 2), 3) и 4), 5) и 6) принципиально не различимы, и каждая пара таких состояний должна рассматриваться как одно состояние. Частицы «обезличены», их уже нельзя обозначать различными буквами Л и В, на нашей схеме они обозначены точками. Если частицы являются бозонами, то число всех возможных микросостояний будет шесть, а вероятность каждого из них 1/в. (Если бы вероятность определялась по Больц-
§ 82] СТАТИСТИКИ ФЕРМИ — ДИРАКА И БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА
309
ману, то каждому из первых трех состояний следовало бы приписать математическую вероятность 2/в, а каждому из последних трех 1/9. Поэтому очевидно, что статистики Больцмана и Бозе — Эйнштейна, а также Ферми — Дирака принципиально различны.) Для фермионов
1) А 6 1) • в
2) В А 2) • •
о) А В 5) е е
1)
2)
5)
• •
5)
6) 7)
В А
/I Б
В А
АВj
АВ
5)
Є)
т •
• •
а в
Бозе -Эйшитейн
Ферми - Дирак
9)
АВ
Больцман
Рис. 70.
последние три распределения, представленные в среднем столбце, реализоваться не могут. Остаются только три микросостояния, изображенные справа. Вероятность каждого из них равна 1/3 (по Больцману она равна 2/в).
3. Прежде чем идти дальше, решим следующую задачу из комбинаторики. Имеется Z квантовых состояний. Требуется определить число способов, с помощью которых по этим состояниям можно распределить N тождественных частиц. Аналогом этой задачи может служить следующая. Имеется Z квартир, требуется определить число способов заселения их N людьми. При этом предполагается, что люди «обезличены», так что не имеет значения, какой именно человек поселится в той или иной квартире.
Решим эту задачу сначала для фермионов. В этом случае должно быть Z ^ N, так как при N > Z фермионы разместить по квантовым состояниям нельзя, поскольку в каждом квантовом состоянии
310
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
может находиться не более одного фермиона. Изобразим все Z квантовых состояний клетками (рис. 71). В заполненной клетке поставим точку, в свободной — светлый кружок. Произведем затем всевозможные перестановки между Z элементами: N точками и (Z — N) кружками. В результате получатся всевозможные распределения
точек по клеткам. Число таких распределений будет Z! Однако это число надо уменьшить в N1 раз, так как перестановки между точками не приводят к новым распределениям. Кроме того, его надо уменьшить еще в (Z — N)l раз, поскольку перестановки между кружками также не приводят к новым распределениям. В результате для числа «расселений» N фермионов по Z квантовым состояниям получаем
• • • • о о о
Рис. 71.
Z1
(82.1)
Допустим теперь, что частицами являются бозоны. В этом случае соотношение между числами Z и N может быть каким угодно. Снова изобразим квантовые состояния Z клетками, разделенными друг от друга Z — 1 перегородками (рис. 72). Концы крайних клеток оставим свободными. Разместим в этих клетках совершенно произвольно все частицы — точки. Получим Z + N — 1 элементов: N частиц и Z ¦— 1 перегородок. Произведем всевозможные перестановки между этими элементами. Получим всевозможные распределения N частиц по Z клеткам. Однако это число надо уменьшить в N1 раз, так как перестановки между частицами не приводят к новым распределениям. Кроме того, его надо уменьшить еще в (Z— 1)! раз, поскольку перестановки между перегородками также не приводят к новым распределениям. В результате для числа распределений N бозонов по Z квантовым состояниям получим выражение
