Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и (106.20) также малы. Тогда проектируемая точка В* движется медленно по
поверхности 2 и ее движение можно аппроксимировать в конечном интервале
(ti, t2), подставляя в эти правые части значения сА в t == ti и
интегрируя в квадратурах1).
0 О теории возмущений, основанной на уравнениях Лагранжа и касательных
преобразований,'см. С о г b е n and S t е h 1 е, [3], стр. 306-312.
Е. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА1)
ГЛАВА I
ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ минковского И ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
§ 107. Преобразования Лоренца. Теперь маленькие латинские индексы будут
принимать значения 1, 2, 3, 4, а греческие - 1, 2, 3 (суммирование в
обоих случаях производится по повторяющимся индексам).
Пусть хт - действительные координаты некоторого события в 4-мерном
многообразии пространства - времени; и пусть интервал ds между двумя
соседними событиями определяется формулой
ds2 - egmn dxm dx11, (107.1)
где коэффициенты - функции координат, а е берется равным +1 или -1 так,
чтобы сделать ds действительным.
В специальной теории относительности (а мы касаемся здесь только ее)
пространство - время плоское; это
!) Основные законы ньютоновой и релятивистской динамики были сопоставлены
в § 4 и 5. Здесь будут повторены основные формулы, но не будет более
говориться о характерных трудностях, возникающих в релятивистских
системах. Общие сведения о специальной теории относительности читатель
может найти в С о s t a de Beauregard О., La Theorie de la Relativite
restreine (Paris: Masson & Ge. 1949); Бергман П., Введение в теорию
относительности, ИЛ, Москва, 1947, перев. П. Кунина и И. Таксара, под
ред. В. JI. Гинзбурга, т. 1; Эйнштейн А., Сущность теории
относительности, ИЛ, I960; Н а 1 р е г п [9]; М. von Jane, Dio
Relativitatstheorie, т. I (5 th. Ed. Braunschweig: Vieweg, 1952); M б 1 1
e г C., The Theory of Relativity (Oxford, Clarendon Press, 1952),
Papapetrou A., Spezielle Relativitatstheorie (Berlin, 1955); Synge I. L,
Relativity: The Special Theory (Amsterdam, North-Holland Publishing,
1956).
392
ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ МИНКОВСКОГО [ГЛ. I
означает, что существуют действительные координаты (х, у, z, t), такие,
что
ds2 = е (dx2 + dy2 + dz2 - с2 dt2), (107.2)
где с - фундаментальная постоянная (скорость света).
Удобно ввести координаты Минковского с "мнимым временем", определенные
следующим образом:
xt = х, х2 = у, х3 = z, Xi = id; (107.3) тогда выражение (107.2) можно
компактно записать как ds2 = в dxT dxr. (107.4)
В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют
то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и
тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и
тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом,
сложности в обозначениях. Если мнимое время xt окажется некоторым
источником неясностей, то
мы можем сразу перейти от координат Минковского хг
к действительным декартовым координатам хг, положив хр = хр, х4 = ix4.
Нам представится случай перейти к действительным координатам в § 111 для
того, чтобы обсудить вопрос о знаке.
Группа преобразований Лоренца состоит из тех преобразований (обязательно
линейных), которые сохраняют квадратичную форму dxT dxr. Любое такое
преобразование имеет вид
xj = ATSxa + Ьт, (107.5)
где коэффициенты удовлетворяют условию
ArsArt = 6st. (107.0)
Сравнение с (9.6) показывает, что, формально говоря, А есть ортогональная
матрица, и это наводит на мысль, что преобразование Лоренца - это
"жесткое" преобразование пространства - времени в себя. В известном
смысле это справедливо и очень важно для понимания преобразования
Лоренца, но наличие мнимых элементов в А (обусловленных мнимостью
времени) существенно отличает геометрию преобразований Лоренца от
геометрии ортогональных преобразований 4-пространства с четырьмя
действительными координатами.
; 107] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 393
Нулевой конус, проведенный из любого события аг как из вершины (рис. 51),
имеет уравнение
(xr - Or) (хг - аг) = 0. (107.7)
События, лежащие вне нулевого конуса, удовлетворяют условию
(хг - аг) (хг - аг) > 0, (107.8)
а лежащие внутри - условию
(хг - аг) (хг - аг) < 0. (107.9)
События внутри конуса делятся на две совокупности в зависимости от того,
положительно или отрицательно
бременилодоблый вектор (е = -1) Г
^нулевой вектор /
орострол^^ ствеллолодо&> ныо вектор (e = +/J
пришлое
нулевой конус
Рис. 51. Нулевой конус. Прошедшее и будущее. Времениподобный,
пространственноподобный и нулевой векторы.
(х4 - a4)/i. Эти две совокупности представляют собой соответственно
будущее или прошедшее по отношению к событию аТ.
Смещение dxr из ат в будущее или в прошедшее называется времениподобным,
и для него е = -1; смещение на нулевом конусе называется нулевым, а
смещение, направленное во вне нулевого конуса, - пространственноподобным
смещением (а = +1).
394 ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ минковского
[ГЛ. I
Нулевой конус остается инвариантным при преобразованиях Лоренца, а
следовательно, инвариантны и его внешняя и внутренняя области. Однако
