Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
для 3-вектора рр. В случае свободной частицы (ср. § 111) рр есть
релятивистский импульс или 3-импульс, определенный в § 108. Но когда
заряженная частица движется в электромагнитном поле (ср. § 115), то поле
каким-то образом входит в рр. Возможно, для рр наиболее подходит название
гамильтонов 3-импульс. Действие теперь имеет вид
А = - ^ ут dxr = ^ (- рр dxp -f Н dt). (110.21)
Это определение согласуется с обычным выражением
(68.1) гамильтонова действия с точностью до знака. Выражение (110.21)
дает положительный элемент действия для частицы, находящейся в мгновенном
покое (dxp - 0) при условии, что Н положительно.
Канонические уравнения Гамильтона имеют знакомую форму:
• _ дН _ дН п 99
Хр - -- , р р - - . (110.22)
дрр дх9
Отметим, что требование релятивизма состоит в том, что Н должна
преобразоваться как четвертая компонента
4-вектора, но не в том, чтобы Н было лоренц-инвариантнцгм,
406 ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ МИНКОВСКОГО [ГЛ. I
§ 111. Свободная частица. В релятивистской динамике теория, связанная со
свободной частицей, не тривиальна, ибо она служит для того, чтобы связать
физические понятия и математическую схему.
Выбираем для свободной частицы постоянной массы инвариантный однородный
лагранжиан
Л (х, х) = тс V - х'Тх'Т, (111.1)
так что элемент действия есть
Л {х, х) d% = me V- Xr х' d% = тс V - dxT dxy -
= тс ds = тс V - 'kr'kr ds. (111.2)
Отметим,что он имеет правильную размерность действия [ML'2 Г-1].
Уравнения Лагранжа (110.13) в рассматриваемом случае приводят к выражению
-г = 0, (111.3)
ds
так что мировой линией является прямая.
Для гамильтонова 4-вектора имеем, как в случае
(110.8), выражение
дА тсхг .... ..
= ^7=^ ¦ (111.4)
охг у _ хпхп
и исключение производных хТ приводит к уравнению
энергии
2Й (х, у) = угуг + т2с2 = 0, (111.5)
в которое не входят пространственновременные коор-
динаты. Канонические уравнения (110.7) в данном случае имеют вид
- ~~ = 0- (111-6)
dw dw
Мы можем выразить уравнения (111.4) через 4-скорость yr = mcKr.
(111.7)
§ 111] СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА 407
Таким образом, в случае свободной частицы гамильтонов
4-вектор есть касательная мировой линии; для движущейся в поле частицы
это, вообще говоря, несправедливо. Из уравнений (108.6), (110.9) и
(111.7) видим, чтб гамильтонов 3-импульс есть
рр = myvp, (111.8)
и имеем также
iE
Уь = imyc = - , (111.9)
с
где Е - энергия, определенная согласно § 108. Далее, имея в виду
(110.19), получим
Н - Е. (111,10)
Для того чтобы найти форму гамильтониана, мы долж-
ны разрешить (111.5) относительно у4, получив при этом
У 4
= ± i УурУр + т2с2, (111.11)
где знак -(- должен быть выбран вследствие (111.9). Тогда, аналогично
(110.20), гамильтониан равен
Н - с VРрРр + т2с2. (111.12)
Остается рассмотреть обыкновенный лагранжиан для свободной частицы.
Применяя уравнение (110.15) к (111.2), получаем
2 1
L dt = тс ds = Т^~ dt , у = --=^= , (111.13)
/-?
так что
me2 j,/. v2 2 1 2
L =----¦= тс 1/ 1 - - = тс - mv + ... (111.14)
у Ус 4
ненаписанные члены содержат квадраты и более высокие степени vjc.
Это выражение отличается от лагранжиана
L = Т = j mv2 (111.15,
408
ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ МИНКОВСКОГО 1ГЛ. I
для свободной частицы в ньютоновой динамике, во-первых, наличием
постоянной тс2, представляющей собствен-
1 2
ную энергию; во-вторых, знаком минус при ^шг,
и в-третьих, членами, не выписанными в явном виде. Если лагранжиан есть
просто подынтегральное выражение в вариационном уравнении для определения
уравнений движения, то наличие слагаемого тс2 тривиально, так как оно
добавляет один и тот же член к интегралу
jj L dt для всех варьированных движений. Так же несу-1 2
ществен знак так как лагранжиан - L дает
те же экстремали, что и L. Что касается ненаписанных членов, то они
представляют род релятивистской поправки, которая, как можно
предполагать, стремится к нулю вместе с vie.
Однако если само действие имеет физический смысл, то имеет физический
смысл и различие между (111.14) и (111.15). Для покоящейся частицы
выражение (111.14)
дает положительное действие me2 ^ dt, в то время как
(111.15) дает нуль. Если сравнить две частицы, одна из которых находится
в покое, а другая движется, то формула (111.14) приписывает (в данный
интервал времени) большее действие покоящейся частице, в то время как
(111.15) приписывает большее действие движущейся частице.
Возвратимся теперь к вопросу об изменении знака, введенного в (110.4) и
соответственно в (110.8), и рассмотрим определение гамильтонова 4-
вектора, когда координаты действительны.
Если применять действительные координаты хт в пространстве - времени, то
надо различать ковариантные и контравариантные векторы. Переход от одних
к другим выполняется с помощью фундаментального тензора gmn (107.1).
Однако геометрия пространства - времени не изменится, если изменить знаки
всех величин gmn на обратные. Отсюда, когда мы приведем gmn к
диагональному виду, применяя вещественные декартовы координаты, могут
