Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мы имеем здесь кососимметричную матрицу
ср а = dpp - dap. (103.6)
Лагранжиан такого вида встречается при рассмотрении реономных систем или
в задаче с. игнорируемыми коор-
§ 103] ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 369
динатами, в частности, в случае гироскопических систем. Поэтому
устойчивость, возникающая благодаря наличию среднего члена в уравнении
(103.1), называется гироскопической 1).
Продолжаем исследовать устойчивость решений уравнения (103.1), подставив
qp = apes\ (103.7)
где все а и s - постоянные. Исключая первые величины, получим
детерминантное уравнение для
A(s) = det (apas2 + cpas + bpa) = 0. (103.8)
Критерий устойчивости, таков: для устойчивости каждый корень этого
уравнения должен иметь неположительную действительную часть2).
Легко установить следующий результат, отмеченный уже в связи с (103.4).
Если аро = аар, bpa = Ьар (но сра Ф сар, вообще говоря), и если три
квадратичные формы
А = apaqpq°, В = bpaqpqa, С = cpa<f q° (103.9)
все положительно определенные, то система устойчива. Для того чтобы
доказать это, заметим, что положительная определенность В заключает в
себе условие det bp0 Ф 0 и поэтому (103.8) не имеет корней, равных нулю.
Тогда для любого корня s имеем
(sapa + cpa + s~ibpa) аа - 0 (103.10)
для некоторого не обращающегося в нуль (комплексного) вектора а0. Умножая
это выражение на комплексное сопряженное ар и складывая полученное таким
образом уравнение с сопряженным ему, получаем следующее уравнение:;
(s+ s) А' + 2С' + (а"1 + = 0, (103.11)
1) См. в § 105 рассмотрение колебаний около устойчивого движения с
помощью гамильтониана.
2) Системы с затуханием, для которых все собственные значения s -
действительные и отрицательные, обсуждены в работе D u f f i n R. J., J.
Rational Mech. Anal. 4, 221 (19551.
24 Дж. Л. Синг
370
Малые колебания
[гл. VH1
где
откуда получаем s + s < 0 (условие, заключающее в себе устойчивость), так
как положительная определенность форм А, В, С означает, что А', В', С'
положительны, Обратимся к детерминантному уравнению (103.8), не
накладывая никаких ограничений на матрицы яр0, frpaj сра> за исключением
одного условия:
Тогда, разлагая детерминант, мы получаем алгебраическое уравнение степени
2N, в котором коэффициент при s2N положителен. Мы отыскиваем необходимое
и достаточное условие отрицательности действительных частей корней этого
уравнения (это несколько более сильное условие, чем требование
устойчивости, для которой достаточно также равенства действительных
частей корней нулю).
В рассуждениях, которые следуют ниже х), четность степени уравнения не
играет роли; удобно написать уравнение для s в следующем виде:
/ (s) = йо(r)п "Ь sn "Ь • • • - 0, йо 0* (103.15)
Если в комплексной плоскости s пробегает мнимую ось от - оо до + оо, то
приращение arg /(s) точно равно л-кратному числа корней с отрицательными
действительными частями функции /(s) = 0. Для того чтобы использовать
этот факт, пишем s = iy и
г) R о u t h Е. J., Stability of Given State of Motion, гл. 3 (London:
Macmillan, 1877); Peres [20], стр. 265; Routh 22,
II, гл. 6; Winkelmann and Grammel [29J, стр. 480.
det яро > 0.
(103.14)
/(") = / (iy) = in (Pn - iPn-1). (Ю3.16)
§ 103]
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
371
где
Рп = "оуп - а2уп 2 + • ¦
Pn-i^ а1уп~1-а3уп-3 +
(103.17)
Таким образом, для s, пробегающих мнимую ось, имеем
и если все нули функции f(s) имеют отрицательные действительные части, то
arctg (pn~i/pn) уменьшается на пи,
когда у пробегает значения от -со до + оо. Это имеет место тогда и только
тогда, когда полиномы (рп, pn-i) сцеплены в следующем смысле:
I) Все нули рп (у) действительные.
II) Все нули (у) действительные и разделяют
нули полинома рп(у).
III) Взаимоотношение Рп и Pn~i показано на рис. 49; Рп-1 - положителен в
точке А и отрицателен в точке В. Точки А к В - последовательные нули
полинома Рп, и полином Рп между ними положителен. Это отношение
эквивалентно условию, что Рп и Pn-i имеют один и тот же знак в пределе
при у -> + оо (на рис. 49 arctg (Pn-i/Pn) уменьшается на я, при переходе
от А к В).
Соответственно вопрос об отрицательности действительных частей нулей
функции /(s) эквивалентен вопросу о сцеплении (Рп, Pn~i). Для того, чтобы
обсудить это, изменим обозначения, положив
(103.18)
А
Рис. 49. Сцепленные полиномы.
(103.19)
24*
372 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. VIII
Определим последовательность полиномов Рп_2, Рп-з> • • • . . Ро и
последовательность чисел Ап-2, Ап-3, . . А0 (коэффициентов при наивысших
степенях переменных в этих полиномах) следующими формулами:
Рп-2- = ^n-2j/n"2 + вп. -2yn~i + ... =
- А пуР т t-i-A О 71 - 1 71 7
Рп-3 = = Ап-3уп~3 + вп. -з Уп~ъ+ ... =
II 1 1 2 - Ап- 2Р n-U
Р2 = = А2у2 В2 AtyP3 А 3Р ^
Р1 = = Aty А3уР 2 - Л2Р3
Ро = = А3 А2уР) -^iP2 "
(103.20)
Как и в (103.5), принимаем Ап - а0 > 0. Предположим, что (Рп, Pn_i)
сцеплены, так что и -4n_i > 0. Докажем, что тогда (Рп~и Рп-2) сцеплены.
Для этого заметим, что из первого уравнения (103.20) следует: в любом
