Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мт = тпК, (108.18)
где Хг есть 4-скорость. Все четыре компоненты имеют размерность массы, но
можно прийти к размерности импульса или энергии, введя в правую часть
множитель с или с2.
_ 1
/ v2\ 2
Обозначив у - (1-^"1 " введем следующие определения:
релятивистская масса = ту,
релятивистский импульс (3-импульс) = ту v р,
релятивистская энергия = Е = туе2,
собственная энергия = Е0 = тс2,
релятивистская кинетическая энергия = Т=тс2 (у - 1).
Разлагая по степеням v/c, получаем
Г = 1 + 1^+...); (108.19)
первый член совпадает со значением кинетической энергии в ньютоновой
механике.
Четыре компоненты МТ можно выразить через релятивистский импульс и
энергию следующим образом:
Мр = нгЛр = ^,
С
iE
= mli = imy = . (108.20)
с
Для фотона формула (108.18) теряет силу, так как для фотона m = 0 и
компоненты Хг становятся бесконечно большими.
Уравнение
ф = фо cos - (прХр - ct), (108.21)
с
где ПрПр = 1, представляет плоские волны частоты v, распространяющиеся в
направлении единичного 3-век-
I 109]
уравнений движения частицы .
399
тора пр с абсолютной скоростью с. Положим /Р = vrtp', /4 = iv.
Можно написать (108.21) в форме
(108.22)
ф = фо cos fTXr.
2л
(108.23)
с
Для того чтобы фазовый множитель мог быть инвариантным относительно
преобразований Лоренца, необходимо и достаточно, чтобы /г
преобразовывался как 4-вектор. Таким образом, четыре величины (108.22)
являются компонентами '4-вектора, т. е. при лоренцовом преобразовании
(107.5) они преобразуются по закону
Употребим этот 4-вектор частоты /г для того, чтобы определить 4-импульс
Мт фотона, положив
где h - постоянная Планка, v - частота фотона и пр - единичный 3-вектор в
направлении движения фотона, так что 3-скорость фотона есть спр.
Компоненты импульса Мг имеют размерность массы. Мы определяем:
релятивистский импульс (3-импульс) фотона = ,
энергию фотона - Е = hv.
Отметим, что
МГМГ = -тп2 для материальной частицы,
§ 109. Уравнения движения частицы. Если на частицу действует 4-сила Хг,
то предполагаем, что уравнения движения частицы имеют вид
(108.24)
ih\
(108.25)
МГМ,. - 0 для фотона.
(108.26)
ds
(тпК) = Хг.
(109.1)
400 ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ минковского [ГЛ. 1
Эти уравнения согласно (108.12) приводят к следующим:
- =- XX- (Ю9.2)
ds
Следовательно, собственная масса изменяется, если только не имеет места
условие
XX = 0, (109.3)
которое является условием ортогональности 4-силы
и 4-скорости.
Используя соотношение у ds = с dt, можно написать первые три уравнения
(109.1) в форме
I (myvр) = ^ ; (109.4)
dt у
эта квазиньютонова формула определяет скорость изменения релятивистского
импульса. Последнее из уравнений (109.1) дает формулу для скорости
изменения релятивистской энергии:
^ = 1 (туе2) = - i . (109.5)
dt dt у
Если уравнение (109.3) удовлетворяется, то имеем
_ iXk = (109.6)
с
и отсюда получаем формулу, связывающую скорость изменения энергии со
скоростью изменения релятивистского импульса,
^ = vp С-^- = Vp ~ (myvр). (109.7)
dt у dt
Условие ортогональности (109.3) удовлетворяется
(и поэтому сохраняется собственная масса), если 4-сила зависит от 4-
скорости следующим образом:
= YTX, (Ю9.8)
§ 110] ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКИ 401
где Yrs - кососимметричный тензор, так что имеют место соотношения
Y" = - Y". (109.9)
4-сила такого типа появляется в случае заряженной частицы, движущейся в
электромагнитном поле (ср. §115,116).
§ 110. Лагранжева и гамильтонова динамики. Можно не класть в основу
динамики уравнения движения в форме
(109.1), а построить релятивистскую динамику на лагранжиане или
гамильтониане, употребляя методы гл. Д, которые достаточно общи и могут
быть приложены к теории относительности. Так как мы рассматриваем только
одну частицу, то полагаем N = 3. Пространство конфигураций Q становится
мгновенным пространством галилеева наблюдателя, а пространство событий QT
становится самим пространством - временем. Для описания релятивистской
динамики полезны также другие пространства изображений, перечисленные в §
62. В частности, кажется интересным 8-мерное пространство QTPH, однако мы
будем использовать только пространство QT и PH, со ссылками на
пространство Q дл я физической интерпретации формул.
Будем употреблять координаты Минковского (107.3); напоминаем, что
маленькие латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, 4, а греческие -
1, 2, 3 и имеют место обычные условия суммирования. Все общие формулы
легко перевести в действительные криволинейные координаты хт по (107.1).
Некоторые важные формулы гл. Д нужно вывести снова с некоторыми
изменениями в знаках (ср. (110.4) и (110.8)). Это изменение в знаке
обсуждается в § 111.
Рассмотрим в пространстве - времени некоторую времениподобную кривую с
параметром %, возрастающим от прошлого к будущему.. Пусть А (х, х') -
заданный инвариантный однородный лагранжиан1), где xr = dxr/d%.
Лагранжево действие есть
Аь = ^ А (х, х') d%\ (110.1)
х) Положительно однородный первой степени относительно х*т 26 Дж. Л. Синг
